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  3. 设A，B均是n阶矩阵，证明AB与BA有相同的特征值．

设A，B均是n阶矩阵，证明AB与BA有相同的特征值．

admin2016-10-20  65
问题 设A，B均是n阶矩阵，证明AB与BA有相同的特征值．
选项
答案设λ0是AB的非零特征值，α0是AB对应于λ0的特征向量，即 (AB)α0=λ0α0 (α0≠0)． 用B左乘上式，得BA(Bα0)=λ0Bα0． 下面需证Bα0≠0(这样Bα0就是矩阵BA对应于λ0的特征向量)． (反证法) 如Bα0=0，那么(AB)α0=A(Bα0)=0，这与(AB)α0=λ0α0≠0相矛盾． 所以，λ0是BA的特征值． 如λ0=0是AB的特征值，则因 ｜0E-BA｜=｜-BA｜=(-1)n｜ B｜.｜A｜=(-1)n｜A｜.｜B｜=｜0E-AB｜，所以，λ0=0也是BA的特征值． 同样可证BA的特征值必是AB的特征值，所以AB与BA特征值相同．
解析
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考研数学三

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