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(Ⅰ)设α1=(a1，a2，a3，a4)，α2=(a2，一a1，a4，一a3)，α3=(a3，一a4，一a1，a2)，其中ai(i=1，2，3，4)不全为零．证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)记A=，证明AAT是正定矩阵．
(Ⅰ)设α1=(a1，a2，a3，a4)，α2=(a2，一a1，a4，一a3)，α3=(a3，一a4，一a1，a2)，其中ai(i=1，2，3，4)不全为零．证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)记A=，证明AAT是正定矩阵．
admin
2020-03-15
47
问题
(Ⅰ)设α
1
=(a
1
，a
2
，a
3
，a
4
)，α
2
=(a
2
，一a
1
，a
4
，一a
3
)，α
3
=(a
3
，一a
4
，一a
1
，a
2
)，其中a
i
(i=1，2，3，4)不全为零．证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关；
(Ⅱ)记A=
，证明AA
T
是正定矩阵．
选项
答案
(Ⅰ)用反证法．假设α
1
，α
2
，α
3
线性相关，则由定义，存在不全为零的实数k
1
，k
2
，k
3
，使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0． (*) 因 α
1
α
2
T
=(a
1
，a
2
，a
3
，a
4
)[*]=0，α
1
α
3
T
=(a
1
，a
2
，a
3
，a
4
)[*]=0， α
2
α
3
T
=(a
2
，—a
1
，a
4
，—a
3
)[*]=0． 又α
j
α
j
=[*]a
j
2
≠0，j=1，2，3． 故将式(*)两端右边乘α
j
T
，j=1，2，3，得 k
j
α
j
α
j
T
=0，α
j
α
j
T
≠0k
j
=0，j=1，2，3， 这和假设矛盾，得证α
1
，α
2
，α
3
线性无关． (Ⅱ)由(Ⅰ)知α
1
，α
2
，α
3
线性无关，则 r(A)=[*]=3，且AA
T
是实对称矩阵． 则齐次方程组A
T
x=(α
1
T
，α
2
T
，α
3
T
)x=0仅有唯一零解，则对任给的x≠0，A
T
x=(α
1
T
，α
2
T
，α
3
T
)x≠0， 两端左边乘(A
T
x)
T
，得 (A
T
x)
T
(A
T
x)=x
T
AA
T
x＞0， 得证，AA
T
是正定矩阵．
解析
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考研数学三
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