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(Ⅰ)设α1=(a1,a2,a3,a4),α2=(a2,一a1,a4,一a3),α3=(a3,一a4,一a1,a2),其中ai(i=1,2,3,4)不全为零.证明α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)记A=,证明AAT是正定矩阵.
(Ⅰ)设α1=(a1,a2,a3,a4),α2=(a2,一a1,a4,一a3),α3=(a3,一a4,一a1,a2),其中ai(i=1,2,3,4)不全为零.证明α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)记A=,证明AAT是正定矩阵.
admin
2020-03-15
83
问题
(Ⅰ)设α
1
=(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
),α
2
=(a
2
,一a
1
,a
4
,一a
3
),α
3
=(a
3
,一a
4
,一a
1
,a
2
),其中a
i
(i=1,2,3,4)不全为零.证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
(Ⅱ)记A=
,证明AA
T
是正定矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)用反证法.假设α
1
,α
2
,α
3
线性相关,则由定义,存在不全为零的实数k
1
,k
2
,k
3
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0. (*) 因 α
1
α
2
T
=(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
)[*]=0,α
1
α
3
T
=(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
)[*]=0, α
2
α
3
T
=(a
2
,—a
1
,a
4
,—a
3
)[*]=0. 又α
j
α
j
=[*]a
j
2
≠0,j=1,2,3. 故将式(*)两端右边乘α
j
T
,j=1,2,3,得 k
j
α
j
α
j
T
=0,α
j
α
j
T
≠0k
j
=0,j=1,2,3, 这和假设矛盾,得证α
1
,α
2
,α
3
线性无关. (Ⅱ)由(Ⅰ)知α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则 r(A)=[*]=3,且AA
T
是实对称矩阵. 则齐次方程组A
T
x=(α
1
T
,α
2
T
,α
3
T
)x=0仅有唯一零解,则对任给的x≠0,A
T
x=(α
1
T
,α
2
T
,α
3
T
)x≠0, 两端左边乘(A
T
x)
T
,得 (A
T
x)
T
(A
T
x)=x
T
AA
T
x>0, 得证,AA
T
是正定矩阵.
解析
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考研数学三
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