(Ⅰ)设α1=(a1,a2,a3,a4),α2=(a2,一a1,a4,一a3),α3=(a3,一a4,一a1,a2),其中ai(i=1,2,3,4)不全为零.证明α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)记A=,证明AAT是正定矩阵.

admin2020-03-15  50

问题 (Ⅰ)设α1=(a1,a2,a3,a4),α2=(a2,一a1,a4,一a3),α3=(a3,一a4,一a1,a2),其中ai(i=1,2,3,4)不全为零.证明α1,α2,α3线性无关;
  (Ⅱ)记A=,证明AAT是正定矩阵.

选项

答案(Ⅰ)用反证法.假设α1,α2,α3线性相关,则由定义,存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得 k1α1+k2α2+k3α3=0. (*) 因 α1α2T=(a1,a2,a3,a4)[*]=0,α1α3T=(a1,a2,a3,a4)[*]=0, α2α3T=(a2,—a1,a4,—a3)[*]=0. 又αjαj=[*]aj2≠0,j=1,2,3. 故将式(*)两端右边乘αjT,j=1,2,3,得 kjαjαjT=0,αjαjT≠0kj=0,j=1,2,3, 这和假设矛盾,得证α1,α2,α3线性无关. (Ⅱ)由(Ⅰ)知α1,α2,α3线性无关,则 r(A)=[*]=3,且AAT是实对称矩阵. 则齐次方程组ATx=(α1T,α2T,α3T)x=0仅有唯一零解,则对任给的x≠0,ATx=(α1T,α2T,α3T)x≠0, 两端左边乘(ATx)T,得 (ATx)T(ATx)=xTAATx>0, 得证,AAT是正定矩阵.

解析
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