首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(Ⅰ)设α1=(a1,a2,a3,a4),α2=(a2,一a1,a4,一a3),α3=(a3,一a4,一a1,a2),其中ai(i=1,2,3,4)不全为零.证明α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)记A=,证明AAT是正定矩阵.
(Ⅰ)设α1=(a1,a2,a3,a4),α2=(a2,一a1,a4,一a3),α3=(a3,一a4,一a1,a2),其中ai(i=1,2,3,4)不全为零.证明α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)记A=,证明AAT是正定矩阵.
admin
2020-03-15
71
问题
(Ⅰ)设α
1
=(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
),α
2
=(a
2
,一a
1
,a
4
,一a
3
),α
3
=(a
3
,一a
4
,一a
1
,a
2
),其中a
i
(i=1,2,3,4)不全为零.证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
(Ⅱ)记A=
,证明AA
T
是正定矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)用反证法.假设α
1
,α
2
,α
3
线性相关,则由定义,存在不全为零的实数k
1
,k
2
,k
3
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0. (*) 因 α
1
α
2
T
=(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
)[*]=0,α
1
α
3
T
=(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
)[*]=0, α
2
α
3
T
=(a
2
,—a
1
,a
4
,—a
3
)[*]=0. 又α
j
α
j
=[*]a
j
2
≠0,j=1,2,3. 故将式(*)两端右边乘α
j
T
,j=1,2,3,得 k
j
α
j
α
j
T
=0,α
j
α
j
T
≠0k
j
=0,j=1,2,3, 这和假设矛盾,得证α
1
,α
2
,α
3
线性无关. (Ⅱ)由(Ⅰ)知α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则 r(A)=[*]=3,且AA
T
是实对称矩阵. 则齐次方程组A
T
x=(α
1
T
,α
2
T
,α
3
T
)x=0仅有唯一零解,则对任给的x≠0,A
T
x=(α
1
T
,α
2
T
,α
3
T
)x≠0, 两端左边乘(A
T
x)
T
,得 (A
T
x)
T
(A
T
x)=x
T
AA
T
x>0, 得证,AA
T
是正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CgD4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1,1,1,0,2)T,α2=(1,1,0,1,1)T,α3=(1,0,1,1,2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1,1,一1,一1,1)T,β2=(1,一1,1,一1,2)T,β3
已知方程组的一个基础解系为(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,bn,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T。试写出线性方程组的通解,并说明理由。
已知A,B为三阶非零矩阵,且A=β1=(0,1,一1)T,β2=(a,2,1)T,β3=(b,1,0)T是齐次线性方程组βx=0的三个解向量,且Ax=β3有解。求a,b的值;
设有齐次线性方程组试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解。
设线性方程组已知(1,一1,1,一1)T是该方程组的一个解,求方程组所有的解。
设A=。已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解。求λ,a;
随机试题
[2012]下列各项中,应当列入书面声明的有()。
若有定义intx,y;并已正确给变量赋值,则以下选项中与表达式(x-y)?(x++):(y++)中的条件表达式(x-y)等价的是()。
王女士,妊娠38周,下肢浮肿l周,头痛半天,无恶心、呕吐,胎心率132次/min,血压21.3/14.6kPa(160/110mmHg),下肢浮肿(++),尿蛋白(++),应考虑
同业拆借是指经中国人民银行批准进入全国银行间同业拆借市场的金融机构之间,通过全国统一的同业拆借网络进行的无担保资金融通行为。()
甲公司2006年对乙公司投资,占乙公司注册资本的25%。乙公司的其他股份分别由其他三个企业平均持有。甲公司按权益法核算对乙公司的投资,至2007年12月31日,甲公司对乙公司投资的账面价值为300万元,其中,投资成本200万元,损益调整100万元。2008
给定资料1.早在2009年,微博就已经在网民中逐渐扩散开来。所谓微博,百度百科上是这样解释的:“微博,即微博客(MieroBlog)的简称,是一个基于用户关系的信息分享、传播以及获取平台,用户以140字左右的文字更新信息,并实现即时分享。最早也是
把下面的六个图形分为两类,使每一类图形都有各自的共同特征或规律,分类正确的一项是:
在"成本表"中有字段:装修费、人工费、水电费和总成本。其中,总成本=装修费+人工费+水电费,在建表时应将字段"总成本"的数据类型定义为
Intheschoolsofancienttimes,themostimportantexaminationswerespoken.Usuallythestudentsweresupposedtosaypoetrya
A、Takepartinasportsmeet.B、Attendabusinessmeeting.C、Goforaninterview.D、Takeanexam.C对话中男士认为女士非常适合那份工作,并且给了女士一些建议。
最新回复
(
0
)