2. 考研
  3. (Ⅰ)设α1=(a1，a2，a3，a4)，α2=(a2，一a1，a4，一a3)，α3=(a3，一a4，一a1，a2)，其中ai(i=1，2，3，4)不全为零．证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)记A=，证明AAT是正定矩阵．

(Ⅰ)设α1=(a1，a2，a3，a4)，α2=(a2，一a1，a4，一a3)，α3=(a3，一a4，一a1，a2)，其中ai(i=1，2，3，4)不全为零．证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)记A=，证明AAT是正定矩阵．

admin2020-03-15  64
问题 (Ⅰ)设α1=(a1，a2，a3，a4)，α2=(a2，一a1，a4，一a3)，α3=(a3，一a4，一a1，a2)，其中ai(i=1，2，3，4)不全为零．证明α1，α2，α3线性无关；
  (Ⅱ)记A=，证明AAT是正定矩阵．
选项
答案(Ⅰ)用反证法．假设α1，α2，α3线性相关，则由定义，存在不全为零的实数k1，k2，k3，使得 k1α1+k2α2+k3α3=0． (*) 因 α1α2T=(a1，a2，a3，a4)[*]=0，α1α3T=(a1，a2，a3，a4)[*]=0， α2α3T=(a2，—a1，a4，—a3)[*]=0． 又αjαj=[*]aj2≠0，j=1，2，3． 故将式(*)两端右边乘αjT，j=1，2，3，得 kjαjαjT=0，αjαjT≠0kj=0，j=1，2，3， 这和假设矛盾，得证α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，α2，α3线性无关，则 r(A)=[*]=3，且AAT是实对称矩阵． 则齐次方程组ATx=(α1T，α2T，α3T)x=0仅有唯一零解，则对任给的x≠0，ATx=(α1T，α2T，α3T)x≠0， 两端左边乘(ATx)T，得 (ATx)T(ATx)=xTAATx＞0， 得证，AAT是正定矩阵．
解析
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考研数学三

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