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A,B是n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n,证明A,B有公共的特征向量.
A,B是n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n,证明A,B有公共的特征向量.
admin
2017-07-26
61
问题
A,B是n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n,证明A,B有公共的特征向量.
选项
答案
由题设λ=0是A,B的特征值,设r(A)=r,r(B)=s, 且α
1
,…,α
n—r
是Ax=0的基础解系,即是A关于λ=0的特征向量, β
1
,…,β
n—s
是B关于λ=0的特征向量, →α
1
,…,α
n—r
,β
1
,…,β
n—s
必线性相关, →k
1
α
1
+…+k
n—r
α
n—r
+l
1
β
1
+…+l
n—s
β
n—s
=0(系数不全为零), 由于α
1
,…,α
n—r
与β
1
,…,β
n—s
线性无关→k
1
,…,k
n—s
与l
1
,…,l
n—s
必分别不全为零. 令y=k
1
α
1
+…+k
n—r
α
n—r
=—l
1
β
1
—…—l
n—s
β
n—s
≠0,即为A,B公共的特征向量.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CgH4777K
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考研数学三
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