2. 考研
  3. A，B是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．

A，B是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．

admin2017-07-26  41
问题 A，B是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．
选项
答案由题设λ=0是A，B的特征值，设r(A)=r，r(B)=s， 且α1，…，αn—r是Ax=0的基础解系，即是A关于λ=0的特征向量， β1，…，βn—s是B关于λ=0的特征向量， →α1，…，αn—r，β1，…，βn—s必线性相关， →k1α1+…+kn—rαn—r+l1β1+…+ln—sβn—s=0(系数不全为零)， 由于α1，…，αn—r与β1，…，βn—s线性无关→k1，…，kn—s与l1，…，ln—s必分别不全为零． 令y=k1α1+…+kn—rαn—r=—l1β1—…—ln—sβn—s≠0，即为A，B公共的特征向量．
解析
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考研数学三

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