设f(x)在[0，1]上连续、单调减少且f(x)＞0，证明：存在c∈(0，1)，使得∫0cf(x)dx=(1－C)f(c)．

admin2022-06-30 35

问题设f(x)在[0，1]上连续、单调减少且f(x)＞0，证明：存在c∈(0，1)，使得∫₀^cf(x)dx=(1－C)f(c)．

选项

答案令φ(x)=(x－1)∫₀^xf(t)dt，因为φ(0)=φ(1)=0，所以存在c∈(0，1)，使得φ’(c)=0，而φ’(x)=∫₀^xf(t)dt+(x－1)f(x)，于是∫₀^cf(x)dx=(1－c)f(c)．

解析

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考研数学二

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