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设曲线y=y(χ)(χ>0)是微分方程2y〞+y′-y=(4-6χ)e-χ的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于χ轴. (Ⅰ)求曲线y=y(χ)的表达式; (Ⅱ)求曲线y=y(χ)到χ轴的最大距离; (Ⅲ)计算积分∫0+∞
设曲线y=y(χ)(χ>0)是微分方程2y〞+y′-y=(4-6χ)e-χ的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于χ轴. (Ⅰ)求曲线y=y(χ)的表达式; (Ⅱ)求曲线y=y(χ)到χ轴的最大距离; (Ⅲ)计算积分∫0+∞
admin
2020-12-10
91
问题
设曲线y=y(χ)(χ>0)是微分方程2y〞+y′-y=(4-6χ)e
-χ
的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于χ轴.
(Ⅰ)求曲线y=y(χ)的表达式;
(Ⅱ)求曲线y=y(χ)到χ轴的最大距离;
(Ⅲ)计算积分∫
0
+∞
y(χ)dχ.
选项
答案
(Ⅰ)微分方程的特征方程为2λ
2
+λ-1=0 特征值为λ
1
=-1,λ
2
=[*]则微分方程2y〞+y′-y=0的通解为 y=C
1
e
-χ
+C
2
[*] 令非齐次线性微分方稗2y〞+y′-y=(4-6χ)e
-χ
的特解为y
0
(χ)=χ(aχ+b)e
-χ
,代人原方程得a=1,b=0,故原方程的特解为y
0
(χ)=χ
2
e
-χ
,原方程的通解为 [*]. 由初始条件y(0)=y′(0)=0得C
1
=C
2
=0,故y=χ
2
e
-χ
. (Ⅱ)曲线y=χ
2
e
-χ
到χ轴的距离为d=χ
2
e
-χ
,令d′=2χe
-χ
-χ
2
e
-χ
=χ(2-χ)e
-χ
=0.得χ=2. 当χ∈(0,2)时,d′>0;当χ>2时,d′<0,则χ=2为d=χ
2
e
-χ
的最大值点,最大距离为d(2)=[*]. (Ⅲ)∫
0
+∞
y(χ)dχ=∫
0
+∞
χ
2
e
-χ
dχ=2.
解析
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考研数学二
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