2. 考研
  3. 设曲线y＝y(χ)(χ＞0)是微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于χ轴． (Ⅰ)求曲线y＝y(χ)的表达式； (Ⅱ)求曲线y＝y(χ)到χ轴的最大距离； (Ⅲ)计算积分∫0＋∞

设曲线y＝y(χ)(χ＞0)是微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于χ轴． (Ⅰ)求曲线y＝y(χ)的表达式； (Ⅱ)求曲线y＝y(χ)到χ轴的最大距离； (Ⅲ)计算积分∫0＋∞

admin2020-12-10  100
问题 设曲线y＝y(χ)(χ＞0)是微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于χ轴．
    (Ⅰ)求曲线y＝y(χ)的表达式；
    (Ⅱ)求曲线y＝y(χ)到χ轴的最大距离；
    (Ⅲ)计算积分∫0＋∞y(χ)dχ．
选项
答案(Ⅰ)微分方程的特征方程为2λ2＋λ－1＝0 特征值为λ1＝－1，λ2＝[*]则微分方程2y〞＋y′－y＝0的通解为 y＝C1e-χ＋C2[*] 令非齐次线性微分方稗2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的特解为y0(χ)＝χ(aχ＋b)e-χ，代人原方程得a＝1，b＝0，故原方程的特解为y0(χ)＝χ2e-χ，原方程的通解为 [*]． 由初始条件y(0)＝y′(0)＝0得C1＝C2＝0，故y＝χ2e-χ． (Ⅱ)曲线y＝χ2e-χ到χ轴的距离为d＝χ2e-χ，令d′＝2χe-χ－χ2e-χ＝χ(2－χ)e-χ＝0.得χ＝2. 当χ∈(0，2)时，d′＞0；当χ＞2时，d′＜0，则χ＝2为d＝χ2e-χ的最大值点，最大距离为d(2)＝[*]． (Ⅲ)∫0＋∞y(χ)dχ＝∫0＋∞χ2e-χdχ＝2．
解析
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考研数学二

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