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设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为 而已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=(2,-1,a+2,1)T, α2=(-1,2,4,a+8)T. (1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系; (2)当a为何值时,方程组(Ⅰ)与(
设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为 而已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=(2,-1,a+2,1)T, α2=(-1,2,4,a+8)T. (1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系; (2)当a为何值时,方程组(Ⅰ)与(
admin
2019-01-05
25
问题
设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为
而已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
α
1
=(2,-1,a+2,1)
T
, α
2
=(-1,2,4,a+8)
T
.
(1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系;
(2)当a为何值时,方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?若有,求出其所有非零公共解.
选项
答案
(1)对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换,有 [*] 由于n-r(A)=4-2=2,基础解系由2个线性无关的解向量所构成,取x
3
,x
4
为自由变量,得 β
1
=(5,-3,1,0)
T
, β
2
=(-3,2,0,1)
T
是方程组(Ⅰ)的基础解系. (2)设η是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的非零公共解,则 η=k
1
β
1
+k
2
β
2
=l
1
α
1
+l
2
α
2
,其中k
1
,k
2
与l
1
,l
2
均是不全为0的常数. 由k
1
β
1
+k
2
β
2
-l
1
α
1
-l
2
α
2
=0,得齐次方程组(Ⅲ) [*] 对方程组(Ⅲ)的系数矩阵作初等行变换,有 [*] 如果a≠-1,则(Ⅲ)→[*].那么方程组(Ⅲ)只有零解,即k
1
=k
2
=l
1
=l
2
=0.于是η=0.不合题意. 当a=-1时,方程组(Ⅲ)同解变形为[*],解出k
1
=l
1
+4l
2
,k
2
=l
1
+7l
2
. 于是η=(l
1
+4l
2
)β
1
+(l
1
+7l
2
)β
2
=l
1
α
1
+l
2
α
2
. 所以a=-1时,方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解,且公共解是 l
1
(2,-1,1,1)
T
+l
2
(-1,2,4,7)
T
.
解析
要求n元线性方程组的基础解系必须知道该线性方程组系数矩阵的秩r为多少,才能确定基础解系中所含线性无关的解的个数n-r.任意选取n-r个线性无关的解便是基础解系,因此,首先应求出或判定出方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CrW4777K
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考研数学三
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