2. 考研
  3. 已知α1=(1，2，1)T，α2=(1，1，a)T分别是三阶实对称不可逆矩阵A的属于特征值λ1=1与λ2=-1的特征向量。若β=(8，0，10)T，试求Akβ。

已知α1=(1，2，1)T，α2=(1，1，a)T分别是三阶实对称不可逆矩阵A的属于特征值λ1=1与λ2=-1的特征向量。若β=(8，0，10)T，试求Akβ。

admin2016-02-27  58
问题 已知α1=(1，2，1)T，α2=(1，1，a)T分别是三阶实对称不可逆矩阵A的属于特征值λ1=1与λ2=-1的特征向量。若β=(8，0，10)T，试求Akβ。
选项
答案由A不可逆可知，A有特征值λ3=0，设特征值0对应的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T。注意到A为实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，故由α1T·α2=0，α1T·α3=0，α2T·α3=0可得 [*] 解得a=-3，x1=7x3，x2=-4x3。 令α3=(7，-4，1)T，将β写成α1，α2，α3的线性组合，由初等行变换 (α1，α2，α3，β) [*] 可得 β=3α1-2α2+α3。 由Akαi=λikαi(i=1，2，3)得到 Akβ=Ak(3α1-2α2+α3) =3Akα1-2Akα2+Akα3 =3λ1kα1-2λ2kα2 =3α1-2(-1)kα2 =(3+2(-1)k+1，6+2(-1)k+1，3+6(-1)k)T， 其中k为正整数。
解析
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考研数学二

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