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[2005年] 设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( ).
[2005年] 设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( ).
admin
2019-04-28
53
问题
[2005年] 设λ
1
,λ
2
是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α
1
,α
2
,则α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关的充分必要条件是( ).
选项
A、λ
1
≠0
B、λ
2
≠0
C、λ
1
=0
D、λ
2
=0
答案
B
解析
解一 首先注意α
1
,α
2
线性无关.在推导α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关的条件时要用到它.
设k
1
α
1
+k
2
A(α
1
+α
2
)=0,则k
1
α
1
+k
2
λ
1
α
1
+k
2
λ
2
α
2
=0,(k
1
+k
2
λ
1
)α
1
+k
2
λ
2
α
2
=0.因α
1
,α
2
线性无关,故k
1
+k
2
λ
1
=0,k
2
λ
2
=0.当λ
2
≠0时,有k
2
=0,从而k
1
=0.于是当λ
2
≠0时,α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关.
反之,若α
1
,A(α
1
+α
2
)=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
线性无关,则必有λ
2
≠0.因为如果λ
2
=0,则α
1
与A(α
1
+α
2
)=λ
1
α
1
线性相关与题设矛盾.综上所述,仅(B)入选.
解二 因向量组α
1
,A(α
1
+α
2
)=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
可看成线性无关向量α
1
,α
2
的线性组合,且
[α
1
,A(α
1
+α
2
)]=[α
1
,λ
1
α
1
+λ
2
α
2
]=[α
1
,α
2
]
由命题2.3.2.2知,向量组α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关的充分必要条件是
的秩等于2,而秩
故仅(B)入选.
(注:命题2.3.2.2 设向量组α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,β
1
,β
2
,…,β
s
为该向量组的线性组合:
即
其中A=[a
ij
]
s×t
称为线性表示的系数矩阵.或
则向量组β
1
,β
2
,…,β
t
线性无关
线性表示的系数矩阵A=[a
ij
]
s×t
或矩阵K=A
T
的秩为t.)
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考研数学三
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