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  3. [2005年] 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )．

[2005年] 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )．

admin2019-04-28  50
问题 [2005年]  设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是(    )．
选项 A、λ1≠0
B、λ2≠0
C、λ1=0
D、λ2=0
答案B
解析 解一  首先注意α1，α2线性无关．在推导α1，A(α1+α2)线性无关的条件时要用到它．
    设k1α1+k2A(α1+α2)=0，则k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0．因α1，α2线性无关，故k1+k2λ1=0，k2λ2=0．当λ2≠0时，有k2=0，从而k1=0．于是当λ2≠0时，α1，A(α1+α2)线性无关．
    反之，若α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2线性无关，则必有λ2≠0．因为如果λ2=0，则α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关与题设矛盾．综上所述，仅(B)入选．
    解二  因向量组α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2可看成线性无关向量α1，α2的线性组合，且
             [α1，A(α1+α2)]=[α1，λ1α1+λ2α2]=[α1，α2]
    由命题2．3．2．2知，向量组α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是的秩等于2，而秩故仅(B)入选．
    (注：命题2．3．2．2  设向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βs为该向量组的线性组合：
           
     即
      
    其中A=[aij]s×t称为线性表示的系数矩阵．或
           
    则向量组β1，β2，…，βt线性无关线性表示的系数矩阵A=[aij]s×t或矩阵K=AT的秩为t．)
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考研数学三

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