2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵使得P-1AP=又A的伴随矩阵A*有特征值λ0，α=是A*的特征值λ0对应的特征向量． (I)求λ0的值； (Ⅱ)计算(A*)-1； (Ⅲ)计算行列式|2A*+5E|．

设A为3阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵使得P-1AP=又A的伴随矩阵A*有特征值λ0，α=是A*的特征值λ0对应的特征向量． (I)求λ0的值； (Ⅱ)计算(A*)-1； (Ⅲ)计算行列式|2A*+5E|．

admin2020-09-23  29
问题 设A为3阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵使得P-1AP=又A的伴随矩阵A*有特征值λ0，α=是A*的特征值λ0对应的特征向量．
(I)求λ0的值；
(Ⅱ)计算(A*)-1；
(Ⅲ)计算行列式|2A*+5E|．
选项
答案(I)由P-1AP=[*]．得|A|=一2，且AP=[*]．则 [*] 从而A有一个特征值为一1，其对应的特征向量为α，又α是A*的特征值λ0对应的特征向量，所以 [*]=λ0，即λ0=一|A|=2． (Ⅱ)记P=(α1，α2，α3)，由P-1AP=[*]，得AP=[*] 则 A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)[*] 即(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，2α2，一α3)， 于是 Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα3=一α3， 故A的特征值为1，2，-1，其对应的特征向量分别为 [*] 因为A为3阶实对称矩阵，由实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，得 α1Tα3=一2—5a+2=0， α2Tα2=-2b一5(a+1)+1=0， 解得a=0，b=一2．则 [*] (Ⅲ)因为A的特征值为1，2，一1，所以2A*+5E的特征值为 [*] 故 |2A*+5E|=1.3.9=27．
解析
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考研数学一

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