设A为3阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵使得P-1AP=又A的伴随矩阵A*有特征值λ0,α=是A*的特征值λ0对应的特征向量. (I)求λ0的值; (Ⅱ)计算(A*)-1; (Ⅲ)计算行列式|2A*+5E|.

admin2020-09-23  18

问题 设A为3阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵使得P-1AP=又A的伴随矩阵A*有特征值λ0,α=是A*的特征值λ0对应的特征向量.
(I)求λ0的值;
(Ⅱ)计算(A*)-1
(Ⅲ)计算行列式|2A*+5E|.

选项

答案(I)由P-1AP=[*].得|A|=一2,且AP=[*].则 [*] 从而A有一个特征值为一1,其对应的特征向量为α,又α是A*的特征值λ0对应的特征向量,所以 [*]=λ0,即λ0=一|A|=2. (Ⅱ)记P=(α1,α2,α3),由P-1AP=[*],得AP=[*] 则 A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)[*] 即(Aα1,Aα2,Aα3)=(α1,2α2,一α3), 于是 Aα11,Aα2=2α2,Aα3=一α3, 故A的特征值为1,2,-1,其对应的特征向量分别为 [*] 因为A为3阶实对称矩阵,由实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的,得 α1Tα3=一2—5a+2=0, α2Tα2=-2b一5(a+1)+1=0, 解得a=0,b=一2.则 [*] (Ⅲ)因为A的特征值为1,2,一1,所以2A*+5E的特征值为 [*] 故 |2A*+5E|=1.3.9=27.

解析
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