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设f(χ)在(0,+∞)内连续且单调减少.证明:∫1n+1f(χ)dχ≤f(k)≤f(1)+∫1nf(χ)dχ.
设f(χ)在(0,+∞)内连续且单调减少.证明:∫1n+1f(χ)dχ≤f(k)≤f(1)+∫1nf(χ)dχ.
admin
2017-09-15
51
问题
设f(χ)在(0,+∞)内连续且单调减少.证明:∫
1
n+1
f(χ)dχ≤
f(k)≤f(1)+∫
1
n
f(χ)dχ.
选项
答案
∫
1
n+1
f(χ)dχ=∫
1
2
f(χ)dχ+∫
2
3
f(χ)dχ+…+∫
n
n+1
f(χ)dχ, 当χ∈[1,2]时,f(χ)≤f(1),两边积分得∫
1
2
f(χ)dχ≤f(1), 同理∫f(χ)dχ≤f(2),…,∫f(χ)dχ≤f(n),相加得[*]; 当χ∈[1,2]时,f(2)≤f(χ),两边积分得f(2)≤∫
1
2
f(χ)dχ, 同理f(3)≤∫
2
3
f(χ)dχ,…,f(n)≤∫
n-1
n
f(χ)dχ, 相加得f(2)+…+f(n)≤∫
1
n
f(χ)dχ,于是[*]f(k)≤f(1)+∫
1
n
f(χ)dχ.
解析
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考研数学二
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