2. 考研
  3. 设f(x)∈[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1，证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abφ(x)dx]．

设f(x)∈[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1，证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abφ(x)dx]．

admin2013-09-15  59
问题 设f(x)∈[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1，证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abφ(x)dx]．
选项
答案因为f’’(x)≥0，所以有f(x)＞f(x0)+f’(x0)(x-x0)． 取x0=∫abxφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于 是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b，把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)中， 再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)-x0φ(x)]， 上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫ab(x)φ(x)dx≥f[∫abφ(x)dx]．
解析
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考研数学二

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