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求一曲线,使曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于a2,且曲线过(a,a)点.
求一曲线,使曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于a2,且曲线过(a,a)点.
admin
2012-01-29
91
问题
求一曲线,使曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于a
2
,且曲线过(a,a)点.
选项
答案
设所求曲线为y=f(x).由题设,作出所围梯形如图9—1中阴影部分所示.由于过曲线y=f(x)上点(x,y)的切线方程为 Y-y=fˊ(x)(X-x) 令Y=0,得切线在x轴上的截距X=x-y/yˊ,此为梯形的下底长. 又由于梯形上底长为x,高为y,因此梯形面积 [*] 即 2(xy-a
2
)yˊ=y
2
注意到x为一次幂,可把x看成y的函数,上述方程可化为 y
2
dx/dy-2yx=-2a
2
。 此为一阶线性方程.由公式可求其通解为 x=cy
2
+2a
2
/3y. 又曲线过(a,a)点,即满足初始条件y︳
x=a
=a,代入上通解,得c=1/(3a),故所求曲线方程为 x=y
2
/(3a)+(2a
2
)/(3y)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OlC4777K
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考研数学二
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