设二维随机变量(X，Y)服从正态分布，则随机变量U=X+Y，V=X-Y不相关的充分必要条件为( )．

admin2020-05-02 21

问题设二维随机变量(X，Y)服从正态分布，则随机变量U=X+Y，V=X-Y不相关的充分必要条件为( )．

选项 A、E(X)=E(Y)
B、E(X²)-E²(X)=E(Y²)-E²(Y)
C、E(X²)=E(Y²)
D、E(X²)+E²(X)=E(Y²)+E²(Y)

答案B

解析两个随机变量不相关的充分必要条件是它们的相关系数等于零，也就是它们的协方差等于零．
由于
Cov(U，V)=Cov(X+Y，X-Y)=Cov(X，X)-Cov(X，Y)+Cov(X，Y)-Cov(Y，Y)
=Coy(X，X)-Cov(Y，Y)=D(X)-D(Y)
故Cov(U，V)=0的充分必要条件是D(X)-D(Y)=0，也就是D(X)=D(Y)，即
E(X²)-E²(X)=E(Y²)-E²(Y)

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考研数学一

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