求一个以y1=tet，y2=sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．

admin2022-03-20 3

问题求一个以y₁=te^t，y₂=sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．

选项

答案由y₁=te可知y₃=e^t亦为其解，由y₂=sin2t可得y₄=cos2t也是其解，故所求方程对应的特征方程的根λ₁=λ₃=1，λ₂=2i，λ₄=一2i．其特征方程为 (λ一1)²(λ²+4)=0，即λ⁴—2λ³+5λ²—8λ+4=0．故所求微分方程为y⁽⁴⁾一2y’’’+5y’’一8y’+4y=0，其通解为y=(C₁+C₂t)e^t+C₃cos2t+C₄sin 2t，其中C₁，C₂，C₃，C₄为任意常数．

解析

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