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已知P-1AP=,α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是( )
已知P-1AP=,α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是( )
admin
2016-05-31
36
问题
已知P
-1
AP=
,α
1
是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α
2
与α
3
是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是( )
选项
A、[α
1
,-α
2
,α
3
].
B、[α
1
,α
2
+α
3
,α
2
-2α
3
].
C、[α
1
,α
3
,α
2
].
D、[α
1
+α
2
,α
1
-α
2
,α
3
].
答案
D
解析
若P
-1
AP=A=
,P=(α
1
,α
2
,α
3
),则有AP=PA.
即(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(a
1
α
1
,a
2
α
2
,a
3
α
3
)
可见α
i
是矩阵A属于特征值a
i
(i=1,2,3)的特征向量,又因矩阵P可逆,因此α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
若α是属于特征值A的特征向量,则-α仍是属于特征值λ的特征向量,故选项A正确.
若α,β是属于特征值λ的特征向量,则2α+3β,…仍是属于特征值λ的特征向量.本题中,α
2
,α
3
是属于λ=5的线性无关的特征向量,故α
2
+α
3
,α
2
-2α
3
仍是λ=5的特征向量,并且α
2
+α
3
,α
2
-2α
3
线性无关,故选项B正确.
对于选项C,因为α
2
,α
3
均是λ=5的特征向量,所以α
2
与α
3
谁在前谁在后均正确.故选项C正确.
由于α
1
,α
2
是不同特征值的特征向量,因此α
1
+α,α
1
-α
2
不
再是矩阵A的特征向量,故选项D错误.所以应选D.
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考研数学三
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