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已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )
已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )
admin
2016-05-31
25
问题
已知P
-1
AP=
，α
1
是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α
2
与α
3
是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )
选项
A、[α
1
，-α
2
，α
3
]．
B、[α
1
，α
2
+α
3
，α
2
-2α
3
]．
C、[α
1
，α
3
，α
2
]．
D、[α
1
+α
2
，α
1
-α
2
，α
3
]．
答案
D
解析
若P
-1
AP=A=
，P=(α
1
，α
2
，α
3
)，则有AP=PA．
即(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
)=(a
1
α
1
，a
2
α
2
，a
3
α
3
)
可见α
i
是矩阵A属于特征值a
i
(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
若α是属于特征值A的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确．
若α，β是属于特征值λ的特征向量，则2α+3β，…仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α
2
，α
3
是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α
2
+α
3
，α
2
-2α
3
仍是λ=5的特征向量，并且α
2
+α
3
，α
2
-2α
3
线性无关，故选项B正确．
对于选项C，因为α
2
，α
3
均是λ=5的特征向量，所以α
2
与α
3
谁在前谁在后均正确．故选项C正确．
由于α
1
，α
2
是不同特征值的特征向量，因此α
1
+α，α
1
-α
2
不
再是矩阵A的特征向量，故选项D错误．所以应选D．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DQT4777K
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考研数学三
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