已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )

admin2016-05-31 41

问题已知P^-1AP=

，α₁是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α₂与α₃是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )

选项 A、[α₁，-α₂，α₃]．
B、[α₁，α₂+α₃，α₂-2α₃]．
C、[α₁，α₃，α₂]．
D、[α₁+α₂，α₁-α₂，α₃]．

答案D

解析若P_-1AP=A=

，P=(α₁，α₂，α₃)，则有AP=PA．
即(Aα₁，Aα₂，Aα₃)=(a₁α₁，a₂α₂，a₃α₃)
可见α_i是矩阵A属于特征值a_i(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α₁，α₂，α₃线性无关．
若α是属于特征值A的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确．
若α，β是属于特征值λ的特征向量，则2α+3β，…仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α₂，α₃是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α₂+α₃，α₂-2α₃仍是λ=5的特征向量，并且α₂+α₃，α₂-2α₃线性无关，故选项B正确．
对于选项C，因为α₂，α₃均是λ=5的特征向量，所以α₂与α₃谁在前谁在后均正确．故选项C正确．
由于α₁，α₂是不同特征值的特征向量，因此α₁+α，α₁-α₂不
再是矩阵A的特征向量，故选项D错误．所以应选D．

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考研数学三

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