设S为非空有界数集，定义S-={x｜-x∈S}，证明 (1)infS-=-SUPS； (2)supS-=-infS．

admin2022-10-31 70

问题设S为非空有界数集，定义S^-={x｜-x∈S}，证明
(1)infS^-=-SUPS；
(2)supS^-=-infS．

选项

答案∵S为非空有界数集，∴S^-={x｜-x∈S}也是有界数集．从而由确界原理知infS^-，supS^-，infS，supS均存在且有限．设supS=η，则对[*]x’∈S^-，-x’∈S，从而有-x’≤η，即x’≥-η．故-η是S的一个下界．又[*]ε＞0．[*]x₀∈S，使得x₀＞η-ε．于是-x₀∈S^-，-x₀＜-η+ε．故-η是S^-的下确界，即infS^-=-supS．同理可证supS^-=-infS．

解析

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