设二次型 f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y23，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．

admin2020-04-30 31

问题设二次型
f=x²₁+x²₂+x²₃+2αx₁x₂+2βx₂x₃+2x₁x₃
经正交变换x=Py化成f=y²₂+2y²₃，其中x=(x₁，x₂，x₃)^T和y=(y₁，y₂，y₃)^T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为 [*] 因为P为正交矩阵，所以 [*] 即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ₁=0，λ₂=1，λ₃=2，这些特征值满足｜λE—A｜=0．当λ₁=0，则 [*] 当λ₂=1，则 [*] 由式(1)和(2)，可求得α=β=0．注：本题可用特征值的性质和特征方程求得α，β如用｜A｜=0×1×2=0．｜E-A｜=0．

解析本题主要考查二次型在正交变换下的不变量．令二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为A，由标准形为f=y²₂+
2y²₃，知A的特征值为0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．

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考研数学一

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设二次型 f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y23，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．

考研数学一

设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵．则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0，必有

设A，B为随机事件，P(A)＞0，则P(B｜A)=1不等价于()

设随机变量X～t(n)(rt>1)，Y=1/X2则

设函数f(x)在点x=a处可导，则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是

设f=+2ax1x2-2x1x3+4x2x3为正定二次型，则未知系数a的范围是_______。

已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ的置信水平为0．95的置信区间是__________。(注：标准正态分布函数值Φ(1．96)=0．975，Φ(1．645)=0．95)

若函数z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c在点(-2，3)处取得极小值-3，则常数a、b、c之积abc=_______

设曲线L是圆周x2+y2=1，则∮Ly2ds=()

造一容积为V0的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积．

计算，其中L是由曲线x2+y2=2y，x2+y2=4y，所围成的区域的边界，按顺时针方向．

一般来说，背景吸收是使吸光度增加而产生正误差。()

下列病变不是T1及T2加权像均呈高信号的是

A、刺痛拒按，固定不移，舌暗，脉涩B、气短疲乏，脘腹坠胀，舌淡，脉弱C、胸胁胀闷窜痛，时轻时童，脉弦D、面色淡白，口唇爪甲色淡，舌淡，脉细E、少气懒言，疲乏无力，自汗，舌淡，脉虚血瘀证可见的症状是

《公司法》对公司的出资形式的限额做出限制的是(　　)。

消火栓的间距应小于或等于()。

常用的确定设备最佳更新期的方法有低劣化数值法和()。

为了预防病毒，在计算机中安装了操作系统补丁(windowsupdate)的防病毒软件，也按时升级了病毒定义文件，仍旧被种了木马程序(即被感染病毒)，最不可能的原因是()。

以可见光波的长短为序，人类感觉到的颜色依次为()。

汉代选拔和任用官吏的方法有()

在计算机指令中，规定其所执行操作功能的部分称为()。

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