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  3. 设二次型 f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y23，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．

设二次型 f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y23，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．

admin2020-04-30  39
问题 设二次型
    f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3
经正交变换x=Py化成f=y22+2y23，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．
选项
答案二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为 [*] 因为P为正交矩阵，所以 [*] 即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，这些特征值满足｜λE—A｜=0． 当λ1=0，则 [*] 当λ2=1，则 [*] 由式(1)和(2)，可求得α=β=0． 注：本题可用特征值的性质和特征方程求得α，β如用｜A｜=0×1×2=0．｜E-A｜=0．
解析 本题主要考查二次型在正交变换下的不变量．令二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为A，由标准形为f=y22+
2y23，知A的特征值为0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．
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考研数学一

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