设二次型 f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y23，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．

admin2020-04-30 24

问题设二次型
f=x²₁+x²₂+x²₃+2αx₁x₂+2βx₂x₃+2x₁x₃
经正交变换x=Py化成f=y²₂+2y²₃，其中x=(x₁，x₂，x₃)^T和y=(y₁，y₂，y₃)^T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为 [*] 因为P为正交矩阵，所以 [*] 即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ₁=0，λ₂=1，λ₃=2，这些特征值满足｜λE—A｜=0．当λ₁=0，则 [*] 当λ₂=1，则 [*] 由式(1)和(2)，可求得α=β=0．注：本题可用特征值的性质和特征方程求得α，β如用｜A｜=0×1×2=0．｜E-A｜=0．

解析本题主要考查二次型在正交变换下的不变量．令二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为A，由标准形为f=y²₂+
2y²₃，知A的特征值为0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．

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考研数学一

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设(1)通过将f(r，t)化为对θ的定积分，其中0≤θ≤2π；(2)求极限

过曲面z＝4一x2一y2上点P处的切平面平行于2x＋2y＋z一1＝0，则P点的坐标为______．

点M1(1，2，3)到直线L：的距离为_________．

计算∮Lyzdx+3xzdy一xydz，其中L：，从z轴正向着，L是逆时针方向．

设场A={x3+2y，y3+2z，z3+2x}，曲面S：x2+y2+z2=2z内侧，则场A穿过曲面指定侧的通量为()．

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函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方程、不等式、数列等内容。

某班班主任在教学过程中全面规划教学任务，使教学的各个要素按照它们内在联系的规律性合理地加以配置的行为体现了教学过程的()原则。

转换生成语法理论的主要概念有()

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