2. 考研
  3. 已知A是3阶矩阵，有特征值λ1＝λ2＝2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3＝－2对应的特征向量为ξ3． (Ⅰ)问ξ1＋ξ2是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅱ)ξ2＋ξ3是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅲ)证明：A2是数量阵．

已知A是3阶矩阵，有特征值λ1＝λ2＝2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3＝－2对应的特征向量为ξ3． (Ⅰ)问ξ1＋ξ2是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅱ)ξ2＋ξ3是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅲ)证明：A2是数量阵．

admin2019-01-24  56
问题 已知A是3阶矩阵，有特征值λ1＝λ2＝2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3＝－2对应的特征向量为ξ3．
(Ⅰ)问ξ1＋ξ2是否是A的特征向量?说明理由；
(Ⅱ)ξ2＋ξ3是否是A的特征向量?说明理由；
(Ⅲ)证明：A2是数量阵．
选项
答案(Ⅰ)因已知Aξ1＝2ξ1，Aξ2＝2ξ2，故A(ξ1＋ξ2)＝Aξ1＋Aξ2＝2ξ1＋2ξ2＝2(ξ1＋ξ2)， 故ξ1＋ξ2仍是A对应于λ1＝λ2＝2的特征向量． (Ⅱ)ξ2＋ξ3不是A的特征向量．假设是，设其对应的特征值为μ，则有 A(ξ2＋ξ3)＝μ(ξ2＋ξ3)， 得 2ξ2－2ξ3－μξ2－μξ3＝(2－μ)ξ2－(2＋μ)ξ3＝0， 因2－μ和2＋μ不同时为零，故ξ2，ξ3线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故ξ2＋ξ3不是A的特征向量． (Ⅲ)因A有特征值λ1＝λ2＝2，λ3＝－2，故A2有特征值μ1＝μ2＝μ3＝4．对应的特征向量仍是ξ1，ξ2，ξ3，且ξ1，ξ2，ξ3线性无关．故存在可逆矩阵P＝(ξ1，ξ2，ξ3)，使得 P－1A2P＝4E，A2＝P(4E)P－1＝4E， 即证A2是数量阵．
解析
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考研数学一

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