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已知A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,ξ3=-2对应的特征向量为ξ3. (Ⅰ)问ξ1+ξ2是否是A的特征向量?说明理由; (Ⅱ)ξ2+ξ3是否是A的特征向量?说明理由; (Ⅲ)证明:A2是数量阵.
已知A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,ξ3=-2对应的特征向量为ξ3. (Ⅰ)问ξ1+ξ2是否是A的特征向量?说明理由; (Ⅱ)ξ2+ξ3是否是A的特征向量?说明理由; (Ⅲ)证明:A2是数量阵.
admin
2019-01-24
30
问题
已知A是3阶矩阵,有特征值λ
1
=λ
2
=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
=-2对应的特征向量为ξ
3
.
(Ⅰ)问ξ
1
+ξ
2
是否是A的特征向量?说明理由;
(Ⅱ)ξ
2
+ξ
3
是否是A的特征向量?说明理由;
(Ⅲ)证明:A
2
是数量阵.
选项
答案
(Ⅰ)因已知Aξ
1
=2ξ
1
,Aξ
2
=2ξ
2
,故A(ξ
1
+ξ
2
)=Aξ
1
+Aξ
2
=2ξ
1
+2ξ
2
=2(ξ
1
+ξ
2
), 故ξ
1
+ξ
2
仍是A对应于λ
1
=λ
2
=2的特征向量. (Ⅱ)ξ
2
+ξ
3
不是A的特征向量.假设是,设其对应的特征值为μ,则有 A(ξ
2
+ξ
3
)=μ(ξ
2
+ξ
3
), 得 2ξ
2
-2ξ
3
-μξ
2
-μξ
3
=(2-μ)ξ
2
-(2+μ)ξ
3
=0, 因2-μ和2+μ不同时为零,故ξ
2
,ξ
3
线性相关,这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾,故ξ
2
+ξ
3
不是A的特征向量. (Ⅲ)因A有特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-2,故A
2
有特征值μ
1
=μ
2
=μ
3
=4.对应的特征向量仍是ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,且ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.故存在可逆矩阵P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
),使得 P
-1
A
2
P=4E,A
2
=P(4E)P
-1
=4E, 即证A
2
是数量阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DSM4777K
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考研数学一
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