2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三个线性无关的向量组，已知 Aα1=2α1+α2+α3，Aα2=3α1-α3，Aα3=-α3． (Ⅰ)求|A*+2E|； (Ⅱ)判断A是否可相似对角化，说明理由．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三个线性无关的向量组，已知 Aα1=2α1+α2+α3，Aα2=3α1-α3，Aα3=-α3． (Ⅰ)求|A*+2E|； (Ⅱ)判断A是否可相似对角化，说明理由．

admin2022-12-09  43
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三个线性无关的向量组，已知
Aα1=2α1+α2+α3，Aα2=3α1-α3，Aα3=-α3．
(Ⅰ)求|A*+2E|；
(Ⅱ)判断A是否可相似对角化，说明理由．
选项
答案(Ⅰ)令P=(α1，α2，α3)，且P可逆， 由Aα1=2α1+α2+α3，Aα2=3α1-α3，Aα3=-α3得 [*] 矩阵B的特征值为λ1=λ2=-1，λ3=3，从而矩阵A的特征值为λ1=λ2=-1，λ3=3， 由|A|=3得A*的特征值为-3，-3，1，则A*+2E的特征值为-1，-1，3， 故|A*+2E|=3． (Ⅱ)-E-B→E+B=[*] 由r(-E-B)=2得矩阵B不可相似对角化，故A不可相似对角化．
解析
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考研数学三

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