设向量α1，α2，…，αn－1是n一1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1，α2，…，αn－1均正交的n维非零列向量。证明： α1，α2，…，αn－1ξ1线性无关。

admin2018-02-07 33

问题设向量α₁，α₂，…，α_n－1是n一1个线性无关的n维列向量，ξ₁，ξ₂是与α₁，α₂，…，α_n－1均正交的n维非零列向量。证明：
α₁，α₂，…，α_n－1ξ₁线性无关。

选项

答案设k₁α₁+k₂α₂+…+k_n－1α_n－1+k₀ξ₁=0，两边取转置得 k₁α₁^T+k₂α₂^T+…+k_n－1α_n－1^T+k₀ξ₁^T=0，上式两端同时右乘ξ₁得 k₁α₁^Tξ₁+k₂α₂^Tξ₁+…+k_n－1α_n－1^Tξ₁+k₀ξ₁^Tξ₁=0，注意到α_i^Tξ₁(i=1，2，…，n一1)，所以k₀ξ₁^Tξ₁=0。由ξ₁≠0可得ξ₁^Tξ₁≠0，于是k₀=0，从而有k₁α₁+k₂α₂+…+k_n－1α_n－1=0。又因为α₁，α₂，…，α_n－1线性无关，所以k₁=k₂=…=k_n－1=k₀=0，故α₁，α₂，…，α_n－1，ξ₁线性无关。

解析

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考研数学二

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