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设A是3阶矩阵,且有3个互相正交的特征向量,证明A是对称矩阵.
设A是3阶矩阵,且有3个互相正交的特征向量,证明A是对称矩阵.
admin
2016-10-20
67
问题
设A是3阶矩阵,且有3个互相正交的特征向量,证明A是对称矩阵.
选项
答案
设A的特征值是λ
1
,λ
2
,λ
3
,相应的特征向量是α
1
,α
2
,α
3
.因为α
1
,α
2
,α
3
已两两正交,将其单位化为γ
1
,γ
2
,γ
3
,则γ
1
,γ
2
,γ
3
仍是A的特征向量,且P=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)是正交矩阵,并有 [*] 从而由A=PAP
-1
=PAP
T
,得A
T
=(PAP
T
)
T
=(P
T
)
T
A
T
P
T
=PAP
T
=A,即A是对称矩阵.
解析
非零正交向量组是线性无关的,故A有3个线性无关的特征向量,即A可以对角化,并且可以用正交变换化为对角形.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DYT4777K
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考研数学三
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