设A是3阶矩阵，且有3个互相正交的特征向量，证明A是对称矩阵．

admin2016-10-20 49

问题设A是3阶矩阵，且有3个互相正交的特征向量，证明A是对称矩阵．

选项

答案设A的特征值是λ₁，λ₂，λ₃，相应的特征向量是α₁，α₂，α₃．因为α₁，α₂，α₃已两两正交，将其单位化为γ₁，γ₂，γ₃，则γ₁，γ₂，γ₃仍是A的特征向量，且P=(γ₁，γ₂，γ₃)是正交矩阵，并有 [*] 从而由A=PAP^-1=PAP^T，得A^T=(PAP^T)^T=(P^T )^TA^TP^T=PAP^T=A，即A是对称矩阵．

解析非零正交向量组是线性无关的，故A有3个线性无关的特征向量，即A可以对角化，并且可以用正交变换化为对角形．

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