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设η1,η2,η3为3个n维向量,AX=0是n元齐次方程组。则( )正确.
设η1,η2,η3为3个n维向量,AX=0是n元齐次方程组。则( )正确.
admin
2017-11-21
34
问题
设η
1
,η
2
,η
3
为3个n维向量,AX=0是n元齐次方程组。则( )正确.
选项
A、如果η
1
,η
2
,η
3
都是AX=0的解,并且线性无关,则η
1
,η
2
,η
3
为AX=0的一个基础解系.
B、如果η
1
,η
2
,η
3
都是AX=0的解,并且r(A)=n-3,则η
1
,η
2
,η
3
为AX=0的一个基础解系.
C、如果η
1
,η
2
,η
3
等价于AX=0的一个基础解系.则它也是AX=0的基础解系.
D、如果r(A)=n-3,并且AX=0每个解都可以用η
1
,η
2
,η
3
线性表示,则η
1
,η
2
,η
3
为AX=0的一个基础解系.
答案
D
解析
选项A缺少n-r(A)=3的条件.
选项B缺少η
1
,η
2
,η
3
线性无关的条件.
选项C例如η
1
,η
2
是基础解系η
1
+η
2
=η
3
,则η
1
,η
2
,η
3
和η
1
,η
2
等价,但是η
1
,η
2
,η
3
不是基础解系.
要说明选项D的正确,就要证明η
1
,η
2
,η
3
都是AX=0的解,并且线性无关.方法如下:
设α
1
,α
2
,α
3
是AX=0的一个基础解系,则由条件,α
1
,α
2
,α
3
可以用η
1
,η
2
,η
3
线性表示,于是
3≥r(η
1
,η
2
,η
3
)=r(η
1
,η
2
,η
3
,α
1
,α
2
,α
3
)≥r(α
1
,α
2
,α
3
)=3,
则r(η
1
,η
2
,η
3
=r(η
1
,η
2
,η
3
,α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=3,
于是η
1
,η
2
,η
3
线性无关,并且和α
1
,α
2
,α
3
等价,从而都是AX=0的解.
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考研数学二
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