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  3. 设η1，η2，η3为3个n维向量，AX＝0是n元齐次方程组。则( )正确．

设η1，η2，η3为3个n维向量，AX＝0是n元齐次方程组。则( )正确．

admin2017-11-21  32
问题 设η1，η2，η3为3个n维向量，AX＝0是n元齐次方程组。则(    )正确．
选项 A、如果η1，η2，η3都是AX＝0的解，并且线性无关，则η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．
B、如果η1，η2，η3都是AX＝0的解，并且r(A)＝n－3，则η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．
C、如果η1，η2，η3等价于AX＝0的一个基础解系．则它也是AX＝0的基础解系．
D、如果r(A)＝n－3，并且AX＝0每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，则η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．
答案D
解析 选项A缺少n－r(A)＝3的条件．
    选项B缺少η1，η2，η3线性无关的条件．
    选项C例如η1，η2是基础解系η1＋η2＝η3，则η1，η2，η3和η1，η2等价，但是η1，η2，η3不是基础解系．
    要说明选项D的正确，就要证明η1，η2，η3都是AX＝0的解，并且线性无关．方法如下：
    设α1，α2，α3是AX＝0的一个基础解系，则由条件，α1，α2，α3可以用η1，η2，η3线性表示，于是
    3≥r(η1，η2，η3)＝r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)≥r(α1，α2，α3)＝3，
    则r(η1，η2，η3＝r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)＝r(α1，α2，α3)＝3，
    于是η1，η2，η3线性无关，并且和α1，α2，α3等价，从而都是AX＝0的解．
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考研数学二

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