证明函数f(x)=在(0，+∞)单调下降．

admin2018-06-27 55

问题证明函数f(x)=

在(0，+∞)单调下降．

选项

答案[*] 下证2^xln2^x-(1+2^x)ln(1+2^x)＜0([*]＞0)．令t=2^x，则x＞0时t＞1， 2^xln2^x-(1+2^x)ln(1+2^x)=tlnt-(1+t)ln(1+t)[*]=g(t)．由于(xlnx)’=lnx+1＞0(x＞1)[*]xlnx在(1，+∞)单调上升[*] tlnt=(1+x)ln(1+t)＜0 [*]，2^xln2^x-(1+x^x)ln(1+2^x)＜0．因此f’(x)＜0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)单调下降．

解析

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