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设函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f′(χ)>0,若极限存在,证明: (Ⅰ)在(a,b)内f(χ)>0; (Ⅱ)在(a,b)内存在一点ξ,使; (Ⅲ)在(a,b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η,使f′
设函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f′(χ)>0,若极限存在,证明: (Ⅰ)在(a,b)内f(χ)>0; (Ⅱ)在(a,b)内存在一点ξ,使; (Ⅲ)在(a,b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η,使f′
admin
2016-03-16
59
问题
设函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f′(χ)>0,若极限
存在,证明:
(Ⅰ)在(a,b)内f(χ)>0;
(Ⅱ)在(a,b)内存在一点ξ,使
;
(Ⅲ)在(a,b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η,使f′(η)(b
2
-a
2
)=
∫
a
b
f(χ)dχ.
选项
答案
(Ⅰ)因为[*]存在,故[*](2χ-a)=0, 由f(χ)在[a,b]上连续,从而f(a)=0. 又由f′(χ)>0知f(χ)在(a,b)内单调增加,故f(χ)>0. (Ⅱ)设F(χ)=χ
2
,g(χ)=∫
a
χ
f(t)dt(a≤χ≤b), 则g′(χ)=f(χ)>0, 故F(χ),g(χ)满足柯西中值定理的条件, 于是在(a,b)内存在一点ξ,使 [*] (Ⅲ)因f(ξ)=f(ξ)-0=f(ξ)-f(a),在[a,ξ]上应用拉格朗日中值定理,知在(a,ξ)内存在一点η,使f(ξ)=f′(η)(ξ-a),从而由(Ⅱ)的结论得 [*] 即有f′(η)(b-a)=[*]f(χ)dχ.
解析
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