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设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. (1)计算PTDP,其中P=,(Ek为k阶单位矩阵); (2)利用(1)的结果判断矩阵B一CTA一1C是否为正定矩阵,并证明.
设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. (1)计算PTDP,其中P=,(Ek为k阶单位矩阵); (2)利用(1)的结果判断矩阵B一CTA一1C是否为正定矩阵,并证明.
admin
2019-02-23
65
问题
设D=
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵.
(1)计算P
T
DP,其中P=
,(E
k
为k阶单位矩阵);
(2)利用(1)的结果判断矩阵B一C
T
A
一1
C是否为正定矩阵,并证明.
选项
答案
(1)P
T
DP =[*] (2)矩阵B=C
T
A
一1
C是正定矩阵.证明:由(1)的结果知D合同于矩 阵M=[*]又D为正定矩阵,所以M为正定矩阵.因M为对称矩阵,故B一C
T
A
一1
C为对称矩阵,由M正定,知对m维零向量x=(0,0,…,0)
T
及任意的n维非零向量y=(y
1
,y
2
,…,y
n
)
T
,有 [x
T
,y
T
][*] = y
T
(B一C
T
A
一1
C)y>0 故对称矩阵B一C
T
A
一1
C为正定矩阵.
解析
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考研数学二
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