设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f’’(x)在(0，+∞)上有界，求证：f’(x)在(0，+∞)上有界.

admin2018-06-27 51

问题设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f’’(x)在(0，+∞)上有界，求证：f’(x)在(0，+∞)上有界.

选项

答案按条件，联系f(x)，f’’(x)与f’(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式[*]＞0，h＞0有 f(x+h)=f(x)+f’(x)h+[*]f’’(ξ)h²，其中ξ∈(x，x+h)．特别是，取h=1，ξ∈(x，x+1)，有 f(x+1)=f(x)+f’(x)+[*]f’’(ξ)，即f’(x)=f(x+1)-f(x)-[*]f’’(ξ)．由题设，｜f(x)｜≤M₀，｜f’’(x)｜≤M₂([*]∈(0，+∞))，M₀，M₂为常数，于是有｜f’(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+[*] 即f’(x)在(0，+∞)上有界．

解析

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考研数学二

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