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设在点x=0处二阶导数存在,则其中的常数a,b,c分别是
设在点x=0处二阶导数存在,则其中的常数a,b,c分别是
admin
2014-02-05
88
问题
设
在点x=0处二阶导数存在,则其中的常数a,b,c分别是
选项
A、a=一2,b=2,c=1.
B、a=2,b=一2,c=1.
C、a=一2,b=1,c=2.
D、a=2,b=1,c=一2.
答案
A
解析
本题主要考查分段函数在分界点处具有高阶导数时应满足的条件.为了处理更一般的问题,我们考虑分段函数
其中f
1
(x)和f
2
(x)分别在较大的区间(x
0
—δ,+∞)和(一∞,x
0
+δ)(δ>0是一个常数)中具有任意阶导数,则f(x)在分界点x=x
0
具有k阶导数的充分必要条件是f
1
(x)和f
2
(x)有相同的泰勒公式:f
1
(x)=f
2
(x)=a
0
+a
1
(x一x
0
)+a
2
(x—x
0
)
2
+…+a
k
(x一x
0
)
k
+o((x一x
0
)
k
).注意,在f(x)的定义中,分界点x
0
也可以属于f
1
(x)所在区问,结论是完全一样的.把上述一般结论用于本题,取x
0
=0,k=2,f
1
(x)=ax
2
+bx+c,f
2
(x)=cos2x+2sinx,因f
2
(x)=1一
+a(x
2
)+2[x+a(x
2
)]=1+2x一2x
2
+o(x
2
),所以a,b,c应分别是a=一2,b=2,c=1,这表明结沦A正确.故选A.
【分析二】首先要求f(x)在x=0连续,即要求
即[cosx+2sinx]|
x=0
=[ax
2
+bx+c]|
x=0
=0,得c=1.这表明C,D不正确.当c=1时,f(x)可写成
其次要求f
’
(0)
,即f
’
一(0)=f
+
’
(0),即(cosx+2sinx)
-
’
|
x=0
=((ax
2
+bx+c)
+
’
|
x=0
=0=b,即b=2.于是B不正确.因此只能是A正确.故选A.
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考研数学二
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