2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，证明存在一点ξ∈[a，b]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，证明存在一点ξ∈[a，b]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．

admin2017-10-25  15
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，证明存在一点ξ∈[a，b]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．
选项
答案因为f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，由最值定理，知f(x)在[a，b]上有最大值M和最小值m，即 m≤f(x)≤M， 故mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)．所以 ∫abmg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤∫abMg(x)dx， 即m≤[*]≤M． 由介值定理知，存在ξ∈[a，b]，使 [*] 即∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．
解析
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考研数学一

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