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设曲线y=y(x)是由方程2y2=e2y-x确定,则下列结论正确的是( ).
设曲线y=y(x)是由方程2y2=e2y-x确定,则下列结论正确的是( ).
admin
2021-03-18
42
问题
设曲线y=y(x)是由方程2y
2
=e
2y
-x确定,则下列结论正确的是( ).
选项
A、曲线y=y(x)有一个极大值点,一个极小值点,没有拐点
B、曲线y=y(x)有一个极大值点,没有极小值点,没有拐点
C、曲线y=y(x)没有极值点,没有拐点
D、曲线y=y(x)没有极值点,一个拐点
答案
D
解析
2y
2
=e
2y
-x两边对x求导得
4yy’=2e
2y
·y’-1,
显然y’≠0,即曲线y=y(x)没有极值点;
4yy’=2e
2y
·y’-1两边对x求导得
4y’
2
+4yy"=4e
2y
·y’
2
+2e
2y
·y".
令y"=0,由y"≠0得y=0,代入2y
2
=e
2y
-x得x=1,
当x=1,y=0时,y’(1)=
;
4y’
2
+4yy"=4e
2y
·y’
2
+2e
2y
·y"两边对x求导得
8y’y"+4y’y"+4yy"’=8e
2y
y’
3
+12e
2y
·y’y"+2e
2y
·y"’,
代入得y"’(1)=
.
因为
,所以存在δ>0,当0<|x-1|<δ时,
<0,
当x∈(1-δ,1)时,y"(x)>0;当x∈(1,1+δ)时,y"(x)<0,故(1,0)为曲线y=y(x)的拐点,应选D.
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考研数学二
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