设曲线y＝y(x)是由方程2y2＝e2y－x确定，则下列结论正确的是( )．

admin2021-03-18 62

问题设曲线y＝y(x)是由方程2y²＝e^2y－x确定，则下列结论正确的是( )．

选项 A、曲线y＝y(x)有一个极大值点，一个极小值点，没有拐点
B、曲线y＝y(x)有一个极大值点，没有极小值点，没有拐点
C、曲线y＝y(x)没有极值点，没有拐点
D、曲线y＝y(x)没有极值点，一个拐点

答案D

解析 2y²＝e^2y－x两边对x求导得
4yy’＝2e^2y·y’－1，
显然y’≠0，即曲线y＝y(x)没有极值点；
4yy’＝2e^2y·y’－1两边对x求导得
4y’²＋4yy"＝4e^2y·y’²＋2e^2y·y"．
令y"＝0，由y"≠0得y＝0，代入2y²＝e^2y－x得x＝1，
当x＝1，y＝0时，y’(1)＝

；
4y’²＋4yy"＝4e^2y·y’²＋2e^2y·y"两边对x求导得
8y’y"＋4y’y"＋4yy"’＝8e^2yy’³＋12e^2y·y’y"＋2e^2y·y"’，
代入得y"’(1)＝

．
因为

，所以存在δ＞0，当0＜｜x－1｜＜δ时，

＜0，
当x∈(1－δ，1)时，y"(x)＞0；当x∈(1，1＋δ)时，y"(x)＜0，故(1，0)为曲线y＝y(x)的拐点，应选D．

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考研数学二

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