设曲线y=y(x)是由方程2y2=e2y-x确定,则下列结论正确的是( ).

admin2021-03-18  25

问题 设曲线y=y(x)是由方程2y2=e2y-x确定,则下列结论正确的是(    ).

选项 A、曲线y=y(x)有一个极大值点,一个极小值点,没有拐点
B、曲线y=y(x)有一个极大值点,没有极小值点,没有拐点
C、曲线y=y(x)没有极值点,没有拐点
D、曲线y=y(x)没有极值点,一个拐点

答案D

解析 2y2=e2y-x两边对x求导得
4yy’=2e2y·y’-1,
显然y’≠0,即曲线y=y(x)没有极值点;
4yy’=2e2y·y’-1两边对x求导得
4y’2+4yy"=4e2y·y’2+2e2y·y".
令y"=0,由y"≠0得y=0,代入2y2=e2y-x得x=1,
当x=1,y=0时,y’(1)=
4y’2+4yy"=4e2y·y’2+2e2y·y"两边对x求导得
8y’y"+4y’y"+4yy"’=8e2yy’3+12e2y·y’y"+2e2y·y"’,
代入得y"’(1)=
因为,所以存在δ>0,当0<|x-1|<δ时,<0,
当x∈(1-δ,1)时,y"(x)>0;当x∈(1,1+δ)时,y"(x)<0,故(1,0)为曲线y=y(x)的拐点,应选D.
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