2. 考研
  3. 设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得 ∫0af(x)dx=af(0)+f’(ξ)。

设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得 ∫0af(x)dx=af(0)+f’(ξ)。

admin2019-08-12  106
问题 设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得
∫0af(x)dx=af(0)+f’(ξ)。
选项
答案由已知 ∫0af(x)dx=∫0af(x)d(x－a) =[(x一a)f(x)]｜0a一∫0a(x一a)f’(x)dx =af(0)一∫0a(x一a)f’(x)dx。 因为f’(x)连续，所以f’(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，则 m(a一x)≤(a一x)f’(x)≤M(a一x)， 故[*]≤∫0a(a一x)f’(x)dx≤[*]，再由介值定理可知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得 ∫0a(a－x)f’(x)dx=[*]f’(x)，于是∫0af(x)dx=af(0)＋[*]f’(ξ)。
解析
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考研数学二

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