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设f(x)在[0,a]上有一阶连续导数,证明至少存在一点ξ∈[0,a],使得 ∫0af(x)dx=af(0)+f’(ξ)。
设f(x)在[0,a]上有一阶连续导数,证明至少存在一点ξ∈[0,a],使得 ∫0af(x)dx=af(0)+f’(ξ)。
admin
2019-08-12
117
问题
设f(x)在[0,a]上有一阶连续导数,证明至少存在一点ξ∈[0,a],使得
∫
0
a
f(x)dx=af(0)+
f
’
(ξ)。
选项
答案
由已知 ∫
0
a
f(x)dx=∫
0
a
f(x)d(x-a) =[(x一a)f(x)]|
0
a
一∫
0
a
(x一a)f
’
(x)dx =af(0)一∫
0
a
(x一a)f
’
(x)dx。 因为f
’
(x)连续,所以f
’
(x)在[0,a]上存在最小值m和最大值M,则 m(a一x)≤(a一x)f
’
(x)≤M(a一x), 故[*]≤∫
0
a
(a一x)f
’
(x)dx≤[*],再由介值定理可知,至少存在一点ξ∈[0,a],使得 ∫
0
a
(a-x)f
’
(x)dx=[*]f
’
(x),于是∫
0
a
f(x)dx=af(0)+[*]f
’
(ξ)。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/c5N4777K
0
考研数学二
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