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设A,B为同阶方阵,(1)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等;(2)举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立;(3)当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立.
设A,B为同阶方阵,(1)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等;(2)举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立;(3)当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立.
admin
2017-04-11
49
问题
设A,B为同阶方阵,(1)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等;(2)举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立;(3)当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立.
选项
答案
(1)若A~B,那么存在可逆矩阵P,使P
一1
AP=B,故|λE一B|=|λE—P
一1
AP|=|P
一1
λEP—P
一1
AP|=|P
一1
(λE一A)P|=|P
一1
||λE-A||P|=|P
一1
||P||λE—A|=|λE-A|,即A,B的特征多项式相等. (2)令[*],那么|λE—A|=λ
2
=|λE—B|,但A,B不相似.否则,存在可逆矩阵P,使P
一1
AP=B=O.从而A=POP
一1
=O,矛盾. (3)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵.若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为λ
1
,…,λ
n
,则有[*]即存在可逆矩阵P,Q使[*]于是(PQ
一1
)
一1
A(PQ
一1
)=B.由PQ
一1
为可逆矩阵知,A与B相似.
解析
本题主要考查同阶方阵相似的定义,相似的必要非充分条件及两个实对称矩阵相似的充分必要条件.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Dtt4777K
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考研数学二
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