2. 考研
  3. 设有微分方程y’－2y=ψ(x)，其中 试求在(－∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(－∞,1)和（1，+∞）内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0.

设有微分方程y’－2y=ψ(x)，其中 试求在(－∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(－∞,1)和（1，+∞）内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0.

admin2022-10-13  24
问题 设有微分方程y’－2y=ψ(x)，其中

试求在(－∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(－∞,1)和（1，+∞）内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0.
选项
答案当x＜1时，有y’－2y=2,其通解为 y=e∫2dx[∫2e－∫2dxdx+C1]=e2x[∫2e-2xdx+C1]=C1e2x－1(x＜1) 由y(0)=0得C1=1所以 y=e2x－1(x＜1) 当x＞1时，有y’－2y=0其通解为 y=C2e∫2dx=C2e2x(x＞1) 由[*]=e2－1得 C2e2=e2－1，即C2=1－e2 所以y=(1－e-2)e2x(x＞1) 于是若补充定义函数y|x=1=e2－1，则得在(－∞,+∞)上的连续函数 [*] 显然y(x)满足题中所要求的全部条件。
解析
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考研数学三

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