设有微分方程y’－2y=ψ(x)，其中试求在(－∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(－∞,1)和（1，+∞）内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0.

admin2022-10-13 42

问题设有微分方程y’－2y=ψ(x)，其中

试求在(－∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(－∞,1)和（1，+∞）内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0.

选项

答案当x＜1时，有y’－2y=2,其通解为 y=e^∫2dx[∫2e^－∫2dxdx+C₁]=e^2x[∫2e^-2xdx+C₁]=C₁e^2x－1(x＜1) 由y(0)=0得C₁=1所以 y=e^2x－1(x＜1) 当x＞1时，有y’－2y=0其通解为 y=C₂e^∫2dx=C₂e^2x(x＞1) 由[*]=e²－1得 C₂e²=e²－1，即C₂=1－e² 所以y=(1－e^-2)e^2x(x＞1) 于是若补充定义函数y|_x=1=e²－1，则得在(－∞,+∞)上的连续函数 [*] 显然y(x)满足题中所要求的全部条件。

解析

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考研数学三

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设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且2f（0）=∫02f（x）dx=f（2）+f（3）。（Ⅰ）证明存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）；（Ⅱ）证明存在ξ∈（0，3），使f"（ξ）=0。
设二阶常系数齐次线性微分方程以y1＝e2x，y2＝2e－x－3e2x为特解，求该微分方程．
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