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设有微分方程y’-2y=ψ(x),其中 试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.
设有微分方程y’-2y=ψ(x),其中 试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.
admin
2022-10-13
17
问题
设有微分方程y’-2y=ψ(x),其中
试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.
选项
答案
当x<1时,有y’-2y=2,其通解为 y=e
∫2dx
[∫2e
-∫2dx
dx+C
1
]=e
2x
[∫2e
-2x
dx+C
1
]=C
1
e
2x
-1(x<1) 由y(0)=0得C
1
=1所以 y=e
2x
-1(x<1) 当x>1时,有y’-2y=0其通解为 y=C
2
e
∫2dx
=C
2
e
2x
(x>1) 由[*]=e
2
-1得 C
2
e
2
=e
2
-1,即C
2
=1-e
2
所以y=(1-e
-2
)e
2x
(x>1) 于是若补充定义函数y|
x=1
=e
2
-1,则得在(-∞,+∞)上的连续函数 [*] 显然y(x)满足题中所要求的全部条件。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KEC4777K
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考研数学三
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