设有微分方程y’-2y=ψ(x),其中 试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.

admin2022-10-13  23

问题 设有微分方程y’-2y=ψ(x),其中

试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.

选项

答案当x<1时,有y’-2y=2,其通解为 y=e∫2dx[∫2e-∫2dxdx+C1]=e2x[∫2e-2xdx+C1]=C1e2x-1(x<1) 由y(0)=0得C1=1所以 y=e2x-1(x<1) 当x>1时,有y’-2y=0其通解为 y=C2e∫2dx=C2e2x(x>1) 由[*]=e2-1得 C2e2=e2-1,即C2=1-e2 所以y=(1-e-2)e2x(x>1) 于是若补充定义函数y|x=1=e2-1,则得在(-∞,+∞)上的连续函数 [*] 显然y(x)满足题中所要求的全部条件。

解析
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