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设A和B均是m×n矩阵,秩r(A)+r(B)=n,若BBT—E且B的行向量是齐次方程组Ax=0的解,P是m阶可逆矩阵,证明:矩阵PB的行向量是Ax=0的基础解系.
设A和B均是m×n矩阵,秩r(A)+r(B)=n,若BBT—E且B的行向量是齐次方程组Ax=0的解,P是m阶可逆矩阵,证明:矩阵PB的行向量是Ax=0的基础解系.
admin
2017-07-26
45
问题
设A和B均是m×n矩阵,秩r(A)+r(B)=n,若BB
T
—E且B的行向量是齐次方程组Ax=0的解,P是m阶可逆矩阵,证明:矩阵PB的行向量是Ax=0的基础解系.
选项
答案
由r(B)≥r(BBT)=r(E)=m,得到r(B)=m.于是B的行向量组线性无关,且n一r(A)=m. 根据题设,B的行向量是Ax=0的解,知AB
T
=0.于是 A(PB)
T
=AB
T
P
T
=0P
T
=0. 因此,PB的m个行向量是Ax=0的解.又矩阵P可逆,于是r(PB)=r(B)=m,从而PB的行向量线性无关,所以PB的行向量是Ax=0的基础解系.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DyH4777K
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考研数学三
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