设A和B均是m×n矩阵,秩r(A)+r(B)=n,若BBT—E且B的行向量是齐次方程组Ax=0的解,P是m阶可逆矩阵,证明:矩阵PB的行向量是Ax=0的基础解系.

admin2017-07-26  62

问题 设A和B均是m×n矩阵,秩r(A)+r(B)=n,若BBT—E且B的行向量是齐次方程组Ax=0的解,P是m阶可逆矩阵,证明:矩阵PB的行向量是Ax=0的基础解系.

选项

答案由r(B)≥r(BBT)=r(E)=m,得到r(B)=m.于是B的行向量组线性无关,且n一r(A)=m. 根据题设,B的行向量是Ax=0的解,知ABT=0.于是 A(PB)T=ABTPT=0PT=0. 因此,PB的m个行向量是Ax=0的解.又矩阵P可逆,于是r(PB)=r(B)=m,从而PB的行向量线性无关,所以PB的行向量是Ax=0的基础解系.

解析
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