设A，B为3阶相似矩阵，且｜2E+A｜=0，λ1=1，λ2=-1为B的两个特征值，则行列式｜A+2AB｜=_______

admin2019-01-12 66

问题设A，B为3阶相似矩阵，且｜2E+A｜=0，λ₁=1，λ₂=-1为B的两个特征值，则行列式｜A+2AB｜=_______

选项

答案18

解析由｜2E+A｜=｜A-(-2E)｜=0知λ=-2为A的一个特征值．由A～B知A和B有相同特征值，因此λ₁=1，λ₂=-1也是A的特征值．故A，B的特征值均λ₁=1，λ₂=-1，λ₃=-2．
则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(-1)=-1，1+2×(-2)=-3，从而
｜E+2B｜=3×(-1)×(-3)=9，｜A｜=λ₁λ₂λ₃=2．
故｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜.｜E+2B｜=2×9=18．

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