2. 考研
  3. 假设： ①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1； ②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2； ③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。

假设： ①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1； ②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2； ③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。

admin2019-04-22  45
问题 假设：
①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；
②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2；
③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。
求函数y=f(x)的表达式。
选项
答案由题设可得 ∫0xf(x)dx=ex一1一f(x)， 两端求导，得 f(x)=ex一f’(x)， 即有 f’(x)+f(x)=ex。 由一阶线性方程求解公式，得 f(x)=e－x[∫ex．exdx+C]=Ce－x+[*]ex。 由f(0)=0得C=[*]，因此所求函数为 f(x)=[*](ex一e－x)。
解析
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考研数学二

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