证明n阶行列式＝1－a＋a2－a3＋…＋(－a)n

admin2017-07-10 50

问题证明n阶行列式

＝1－a＋a²－a³＋…＋(－a)ⁿ

选项

答案记此行列式为D_n．对第1行展开，得到一个递推公式 D_n＝(1－a)D_n-1＋aD_n-2 下面用数学归纳法证明本题结论． (1)验证n＝1，2时对： D₁＝1－a， D₂＝[*]＝(1－a)²＋a＝1－a＋a²． (2)假设对n－1和n－2结论都对，证明对n也对： D_n-1＝1－a＋a²－a³＋…＋(－a)^n-1， D_n-2＝1－a＋a²－a³＋…＋(－a)^n-2，则由递推公式 D_n＝(1－a)D_n-1＋aD_n-2＝D_n-1－a(D_n-1－D_n-2)＝D_n-1＋(－a)ⁿ ＝1－a＋a²－a³＋…＋(－a)^n-1＋(－a)ⁿ．

解析

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考研数学二

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设a。，a1，…an为满足的实数，证明方程a。＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＝0在(0，1)内至少有一个实根．
求下列函数在指定点处的导数
设y=e-x是微分方程xy’+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y｜x=ln2=0的特解。
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已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_______．
本题为“1x”型未定式，除可以利用第二类重要极限进行计算或化为指数函数计算外，由于已知数列的表达式，也可将n换为x转化为函数极限进行计算．一般[*]
设二次型f(x1，x2，x3)＝2(a1x1＋a2x2＋a3x3)2＋(b1x1＋b2x2＋b3x3)2，记。(1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT；(2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．

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