证明n阶行列式＝1－a＋a2－a3＋…＋(－a)n

admin2017-07-10 73

问题证明n阶行列式

＝1－a＋a²－a³＋…＋(－a)ⁿ

选项

答案记此行列式为D_n．对第1行展开，得到一个递推公式 D_n＝(1－a)D_n-1＋aD_n-2 下面用数学归纳法证明本题结论． (1)验证n＝1，2时对： D₁＝1－a， D₂＝[*]＝(1－a)²＋a＝1－a＋a²． (2)假设对n－1和n－2结论都对，证明对n也对： D_n-1＝1－a＋a²－a³＋…＋(－a)^n-1， D_n-2＝1－a＋a²－a³＋…＋(－a)^n-2，则由递推公式 D_n＝(1－a)D_n-1＋aD_n-2＝D_n-1－a(D_n-1－D_n-2)＝D_n-1＋(－a)ⁿ ＝1－a＋a²－a³＋…＋(－a)^n-1＋(－a)ⁿ．

解析

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