已知二次型f(x1，x2，x3=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

admin2018-02-07 67

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃=4x₂²一3x₃²+4x₁x₂—4x₁x₃+8x₂x₃。
用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

选项

答案矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜=[*]=(λ—1)(λ一6)(λ+6)，矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=一6。由(λ_iE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ₁=1，λ₂=6，λ₃=一6对应的特征向量分别为 α₁=(一2，0，1)^T，α₂=(1，5，2)^T，α₃=(1，一1，2)^T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将α₁，α₂，α₃单位化，即 [*] 且二次型x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为f=y₁²+6y₂²一6y₃²。

解析

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考研数学二

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已知二次型f(x1，x2，x3=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

考研数学二

对离散型情形证明：(1)E(X+Y)=EX+EY．(2)EXY=EXEY

若A是n阶实对称矩阵，证明：A2=O与A=O可以相互推出.

设(X，Y)为连续型随机向量，已知X的密度函数fX(x)及对一切x，在X=x的条件下Y的条件密度fY|X(y|x)．求：(1)密度函数f(x，y)；(2)Y的密度函数fY(y)；(3)条件密度函数fX|Y(x|y)．

下列方程中有一个是一阶微分方程，它是[]．

求在抛物线y＝x2上横坐标为3的点的切线方程．

设有函数试分析在点x＝0处，k为何值时，f(x)有极限；k为何值时，f(x)连续；k为何值时，f(x)可导．

设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点ζ，使f"’(ζ)=3．

已知，二次型f(x1，x2，x3)＝xT(ATA)x的秩为2，(1)求实数a的值；(2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；

设已知线性方程组Ax=6存在2个不同的解。求方程组Ax=b的通解．

电气安装工程施工的一般程序中，回路接通后应进行()。

以下说法正确的是()

设f(x，y)=ln(y+)，则fy(1，1)=_________．

属于串联结构的器官为

关于火灾应急广播扬声器的设置中，错误的是()

某建筑边坡挡土墙如图8．4．2所示，墙后填黏性土，γ=18kN／m3，c=45kPa，φ=24°，墙背与砂土间的摩擦角δ=16°。试问：用库仑土压力理论计算该挡土墙上的主动土压力合力值Ea(kN／m)最接近下列()项。

下面四个悬臂梁中挠曲线是圆弧的为()。

甲上市公司正在与乙公司商谈合并事项。根据证券法律制度的规定，下列关于甲公司信息披露的表述中，正确的有()。(2010年)

求下列函数的导数y′：(Ⅰ)y=arctanex2；(Ⅱ)y=sinx．

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下列方程中有一个是一阶微分方程，它是[]．

求在抛物线y＝x2上横坐标为3的点的切线方程．

设有函数试分析在点x＝0处，k为何值时，f(x)有极限；k为何值时，f(x)连续；k为何值时，f(x)可导．

设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点ζ，使f"’(ζ)=3．

已知，二次型f(x1，x2，x3)＝xT(ATA)x的秩为2，(1)求实数a的值；(2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；

设已知线性方程组Ax=6存在2个不同的解。求方程组Ax=b的通解．

电气安装工程施工的一般程序中，回路接通后应进行()。

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设f(x，y)=ln(y+)，则fy(1，1)=_________．

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某建筑边坡挡土墙如图8．4．2所示，墙后填黏性土，γ=18kN／m3，c=45kPa，φ=24°，墙背与砂土间的摩擦角δ=16°。试问：用库仑土压力理论计算该挡土墙上的主动土压力合力值Ea(kN／m)最接近下列()项。

下面四个悬臂梁中挠曲线是圆弧的为()。

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