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在空间直角坐标系的原点处,有一质量为M1的恒星,另有一质量为M2的恒星在椭圆上移动,问两恒星间万有引力大小何时最大,何时最小。
在空间直角坐标系的原点处,有一质量为M1的恒星,另有一质量为M2的恒星在椭圆上移动,问两恒星间万有引力大小何时最大,何时最小。
admin
2019-12-06
67
问题
在空间直角坐标系的原点处,有一质量为M
1
的恒星,另有一质量为M
2
的恒星在椭圆
上移动,问两恒星间万有引力大小何时最大,何时最小。
选项
答案
当恒星M
2
在点(x,y,z)处时,两恒星之间的万有引力大小为f(x,y,z)=[*]。 求f(x,y,z)在椭圆方程条件下的最大值和最小值,可以转化为g(x,y,z)=x
2
+y
2
+z
2
在椭圆条件下的最小值和最大值。构造拉格朗日函数为 L(x,y,z,λ)=x
2
+y
2
+z
2
+λ(z-x
2
-y
2
)+μ(x+y+z-1), 对x,y,z,λ,μ分别求偏导数,并令其等于0有 [*] 由前面两个方程相减得2(1-λ)(x-y)=0,则λ=1或x=y。当λ=1时,μ=0,代入第三个方程得z=[*]﹤0,不满足z=x
2
+y
2
﹥0。当x=y,时,代入后两个方程得 [*], 记[*], 解得[*]。 在几何上看,g(x,y,z)在题目条件下的最大值和最小值均存在的,所以g(x,y,z)在点R
1
达到最小,在点R
2
达到最大,因而f(x,y,z)在点R
1
取到最大值f(R
1
)=[*],在点R
2
取到最小值f(R
2
)=[*]
解析
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考研数学二
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