在空间直角坐标系的原点处，有一质量为M1的恒星，另有一质量为M2的恒星在椭圆上移动，问两恒星间万有引力大小何时最大，何时最小。

admin2019-12-06 59

问题在空间直角坐标系的原点处，有一质量为M₁的恒星，另有一质量为M₂的恒星在椭圆

上移动，问两恒星间万有引力大小何时最大，何时最小。

选项

答案当恒星M₂在点(x，y，z)处时，两恒星之间的万有引力大小为f(x，y，z)＝[*]。求f(x，y，z)在椭圆方程条件下的最大值和最小值，可以转化为g(x，y，z)＝x²＋y²＋z²在椭圆条件下的最小值和最大值。构造拉格朗日函数为 L(x，y，z，λ)＝x²＋y²＋z²＋λ(z－x²－y²)＋μ(x＋y＋z－1)，对x，y，z，λ，μ分别求偏导数，并令其等于0有 [*] 由前面两个方程相减得2(1－λ)(x－y)＝0，则λ＝1或x＝y。当λ＝1时，μ＝0，代入第三个方程得z＝[*]﹤0，不满足z＝x²＋y²﹥0。当x＝y，时，代入后两个方程得 [*]，记[*]，解得[*]。在几何上看，g(x，y，z)在题目条件下的最大值和最小值均存在的，所以g(x，y，z)在点R₁达到最小，在点R₂达到最大，因而f(x，y，z)在点R₁取到最大值f(R₁)＝[*]，在点R₂取到最小值f(R₂)＝[*]

解析

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考研数学二

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在空间直角坐标系的原点处，有一质量为M1的恒星，另有一质量为M2的恒星在椭圆上移动，问两恒星间万有引力大小何时最大，何时最小。

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