已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx一2ydy,并且f(1,1)=2。求f(x,y)在椭圆域D={(x,y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。

admin2019-02-23  39

问题 已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx一2ydy,并且f(1,1)=2。求f(x,y)在椭圆域D={(x,y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。

选项

答案根据题意可知[*]=一2y,于是f(x,y)=x2+C(y),且C(y)=一2y,因此有C(y)=一y2+C,由f(1,1)=2,得C=2,故 f(x,y)=x2一y2+2。 令[*]=0得可能极值点为x=0,y=0。且 [*] A=B2一AC=4>0,所以点(0,0)不是极值点,也不可能是最值点。 下面讨论其边界曲线x2+[*]=1上的情形,令拉格朗日函数为 F(x,y,λ)=f(x,y)+λ(x2+[*]一1), 解[*] 得可能极值点x=0,y=2,λ=4;x=0,y=一2,λ=4;x=1,y=0,λ=一1;x=一1,y=0,λ=一1。 将其分别代入f(x,y)得,f(0,±2)=一2,f(±1,0)=3,因此z=f(x,y)在区域D={(x,y)|x2+[*]≤1}内的最大值为3,最小值为一2。

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Yj4777K
0

最新回复(0)