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设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中线性无关向量组是( )。
设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中线性无关向量组是( )。
admin
2015-11-16
44
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则下列向量组中线性无关向量组是( )。
选项
A、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
-α
1
B、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+α
3
C、α
1
+2α
2
,2α
2
+3α
3
,3α
3
+α
1
D、α
1
+α
2
+α
3
,2α
1
-3α
2
+22α
3
,3α
1
+5α
2
-5α
3
答案
C
解析
[解题思路] 用线性无关向量组线性表示的向量组的线性相关性的判定常用下述矩阵表示法:
设向量组(Ⅱ):β
1
,…,β
r
能由线性无关向量组(Ⅰ):α
1
,…,α
s
线性表示为
或 [β
1
,…,β
r
]=[α
1
,…,α
s
][g
ij
]
s×r
=[α
1
,…,α
s
]G,
则向量组(Ⅱ)线性无关的充要条件是秩(K)=r(或秩(G)=r)。当r=s时,归结为计算行列式|K|或|G|。如它们不等于0,则向量组(Ⅱ)线性无关;如等于零,向量组(Ⅱ)线性相关。
(参阅《考研数学一常考题型解题方法技巧归纳(第二版)》P310)
解一 对于(A),令β
1
=α
1
+α
2
,β
2
=α
2
+α
3
,β
3
=α
3
-β
1
,则
[α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,β
3
=α
3
-β
1
]=[α
1
,α
2
,α
3
]
= [α
1
,α
2
,α
3
]G
1
,
而
故向量组α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
-α
1
线性相关。
对于(B),令β
1
=α
1
+α
2
,β
2
=α
2
+α
3
,β
3
=α
1
+2α
2
+α
3
,则
[α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+α
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
]
= [α
1
,α
2
,α
3
]G
2
,
而
故向量组α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+α
3
线性相关。
对于(C),令β
1
=α
1
+2α
2
,β
2
=2α
2
+3α
3
,β
3
=3α
3
+α
1
,则
[α
1
+2α
2
,2α
2
+3α
3
,3α
3
+α
1
]=[α
1
,α
2
,α
3
]
= [α
1
,α
2
,α
3
]G
3
,
而
故向量组α
1
+2α
2
,2α
2
+3α
3
,3α
3
+α
1
线性相关。
对于(D),令β
1
=α
1
+α
2
+α
3
,β
2
=2α
1
-3α
2
+22α
3
,β
3
=3α
1
+5α
2
-5α
3
,则
[α
1
+α
2
+α
3
,2α
1
-3α
2
+22α
3
,3α
1
+5α
2
-5α
3
]
=[α
1
,α
2
,α
3
]
= [α
1
,α
2
,α
3
]G
4
,
而|G
4
|=
=0,故(D)中向量组线性相关,仅(C)入选。
解二 也可用定义判别,对于选项(C),令
k
1
(α
1
+2α
2
)+k
2
(2α
2
+3α
3
)+k
3
(3α
3
+α
1
)=0,
即 (k
1
+k
3
)α
1
+(2k
1
+2k
2
)α
2
+(3k
2
+3k
3
)α
3
=0。
因α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故
因该方程组的系数矩阵行列式不等于0,故该方程组只有零解,即k
1
=k
2
=k
3
=0,所以该向量组线性无关,仅(C)入选。
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