设A是三阶矩阵，α1,α2,α3为三个三维线性无关的列向量，且满足 Aα1=α2+α3,Aα2=α1+α3,Aα3=α1+α2. 求矩阵A的特征值。

admin2021-11-25 59

问题设A是三阶矩阵，α₁,α₂,α₃为三个三维线性无关的列向量，且满足
Aα₁=α₂+α₃,Aα₂=α₁+α₃,Aα₃=α₁+α₂.
求矩阵A的特征值。

选项

答案因为α₁,α₂,α₃线性无关，所以α₁+α₂+α₃≠0 由A(α₁+α₂+α₃)=2(α₁+α₂+α₃),得A的一个特征值为λ₁=2 又由A(α₁－α₂)=－(α₁－α₂),A(α₂－α₃)=－(α₂－α₃)得到A的另一个特征值为λ₂=－1 因为α₁,α₂,α₃线性无关，所以α₁－α₂与α₂－α₃也线性无关，所以λ₂=－1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，－1，－1.

解析

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