设f(x)在(0，1)内有定义，且exf(x)与e-f(x)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续．

admin2021-11-09 91

问题设f(x)在(0，1)内有定义，且e^xf(x)与e^-f(x)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续．

选项

答案对任意的c∈(0，1)，当x＜c时，由e^xf(x)≤e^cf(c)及e^-f(x)≤e^-f(c)得f(c)≤f(x)≤e^c-xf(c)，令x→c^-得f(c-0)=f(c)；当x＞c时，由e^xf(x)≥e^cf(c)及e^-f(c)≥e^-f(c)得f(c)≥f(x)≥e^c-xf(x)，令x→c⁺得f(c+0)=f(c)，因为f(c-0)=f(c+0)=f(c)，所以f(x)在x=c处连续，由c的任意性得f(x)在(0，1)内连续．

解析

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考研数学二

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