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设f(x)在(0,1)内有定义,且exf(x)与e-f(x)在(0,1)内都是单调增函数,证明:f(x)在(0,1)内连续.
设f(x)在(0,1)内有定义,且exf(x)与e-f(x)在(0,1)内都是单调增函数,证明:f(x)在(0,1)内连续.
admin
2021-11-09
85
问题
设f(x)在(0,1)内有定义,且e
x
f(x)与e
-f(x)
在(0,1)内都是单调增函数,证明:f(x)在(0,1)内连续.
选项
答案
对任意的c∈(0,1), 当x<c时,由e
x
f(x)≤e
c
f(c)及e
-f(x)
≤e
-f(c)
得f(c)≤f(x)≤e
c-x
f(c), 令x→c
-
得f(c-0)=f(c); 当x>c时,由e
x
f(x)≥e
c
f(c)及e
-f(c)
≥e
-f(c)
得f(c)≥f(x)≥e
c-x
f(x), 令x→c
+
得f(c+0)=f(c), 因为f(c-0)=f(c+0)=f(c),所以f(x)在x=c处连续,由c的任意性得f(x)在(0,1)内连续.
解析
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考研数学二
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