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设二次型χTAχ=χ12+4χ22+χ32+2aχ1χ2+2bχ1χ3+2cχ2χ3,矩阵B=,满足AB=0. ①用正交变换化χTAχ为标准形,写出所作变换. ②求(A-3E)6.
设二次型χTAχ=χ12+4χ22+χ32+2aχ1χ2+2bχ1χ3+2cχ2χ3,矩阵B=,满足AB=0. ①用正交变换化χTAχ为标准形,写出所作变换. ②求(A-3E)6.
admin
2017-11-21
64
问题
设二次型χ
T
Aχ=χ
1
2
+4χ
2
2
+χ
3
2
+2aχ
1
χ
2
+2bχ
1
χ
3
+2cχ
2
χ
3
,矩阵B=
,满足AB=0.
①用正交变换化χ
T
Aχ为标准形,写出所作变换.
②求(A-3E)
6
.
选项
答案
A=[*] ①先作正交矩阵Q,使得Q
-1
AQ是对角矩阵. 条件说明B的3个列向量都是A的特征向量,并且特征值都是0.由于B的秩大于1,特征值0的重数大于1.于是A的特征值为0,0,6.(tr(A)=6.) 求属于特征值0的两个单位正交特征向量: 对B的第1,2两个列向量α
1
=(1,0,1)
T
,α
2
=(2,-1,0)
T
作施密特正交化: η
1
=α
1
/‖α
1
‖=[*](1,0,1)
T
, 求属于特征值6的一个单位特征向量:属于特征值6的特征向量与α
1
,α
2
都正交,即是方程组{χ
1
+χ
3
=0,2χ
1
的非零解,求出α
3
=(1,2,-1)
T
是属于6的一个特征向量,单位化 η
3
=α
3
/‖α
3
‖=[*](1,2,-1)
T
, 记Q=(η
1
,η
2
,η
3
),则Q是正交矩阵, Q
-1
AQ=[*] 作正交变换χ=Qy,它χ
T
Aχ化为标准二次型6y
3
2
. ②A的特征值为0,0,6,则A-3E的特征值为-3,-3,3,(A-3E)
6
的3个特征值都是3
6
. 于是(A-3E)
6
~3
6
E[*](A-3E)
6
=3
6
E.
解析
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0
考研数学二
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