2. 考研
  3. 设二次型χTAχ＝χ12＋4χ22＋χ32＋2aχ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3，矩阵B＝，满足AB＝0． ①用正交变换化χTAχ为标准形，写出所作变换． ②求(A－3E)6．

设二次型χTAχ＝χ12＋4χ22＋χ32＋2aχ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3，矩阵B＝，满足AB＝0． ①用正交变换化χTAχ为标准形，写出所作变换． ②求(A－3E)6．

admin2017-11-21  63
问题 设二次型χTAχ＝χ12＋4χ22＋χ32＋2aχ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3，矩阵B＝，满足AB＝0．
    ①用正交变换化χTAχ为标准形，写出所作变换．
    ②求(A－3E)6．
选项
答案A＝[*] ①先作正交矩阵Q，使得Q-1AQ是对角矩阵． 条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)＝6．) 求属于特征值0的两个单位正交特征向量： 对B的第1，2两个列向量α1＝(1，0，1)T，α2＝(2，－1，0)T作施密特正交化： η1＝α1／‖α1‖＝[*](1，0，1)T， 求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α1，α2都正交，即是方程组{χ1＋χ3＝0，2χ1 的非零解，求出α3＝(1，2，－1)T是属于6的一个特征向量，单位化 η3＝α3／‖α3‖＝[*](1，2，－1)T， 记Q＝(η1，η2，η3)，则Q是正交矩阵， Q-1AQ＝[*] 作正交变换χ＝Qy，它χTAχ化为标准二次型6y32． ②A的特征值为0，0，6，则A－3E的特征值为－3，－3，3，(A－3E)6的3个特征值都是36． 于是(A－3E)6～36E[*](A－3E)6＝36E．
解析
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考研数学二

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