计算I=(x+y+z)2dv，其中Ω为由球面x2+y2+z2=2和抛物面z=x2+y2所围成．

admin2019-07-24 25

问题计算I=

(x+y+z)²dv，其中Ω为由球面x²+y²+z²=2和抛物面z=x²+y²所围成．

选项

答案因(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx中xy+yz为y的奇函数，Ω关于平面xOz对称，故[*](xy+yz)dv=0．又Ω关于平面yOz也对称，而xz为x的奇函数，故 [*](x²+y²+z²)dv．由[*]x²dv，其中Ω₁={x，y，z)｜x²+y²≤z，x²+y²+z²≤2,x≥0)．利用柱面坐标易求得 [*] 同法可求得[*] 故[*](x²+y²+z²)dxdydz=[*]一89)．

解析注意到Ω关于z轴即平面xOz对称，要充分利用被积函数的子函数的奇偶性以简化计算，计算时用柱面坐标系求之．

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