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设曲面S:z=x2+y2(z≤1)与平面z=1所围均匀立体为V,且在S上使其切平面与V的质心距离最近的点的轨迹方程为L. 求V的质心坐标及L的方程;
设曲面S:z=x2+y2(z≤1)与平面z=1所围均匀立体为V,且在S上使其切平面与V的质心距离最近的点的轨迹方程为L. 求V的质心坐标及L的方程;
admin
2023-01-04
21
问题
设曲面S:z=x
2
+y
2
(z≤1)与平面z=1所围均匀立体为V,且在S上使其切平面与V的质心距离最近的点的轨迹方程为L.
求V的质心坐标及L的方程;
选项
答案
[*] 由已知,均匀立体V如图4-2所示,设V的密度为常数ρ.由对称性,知V的质心坐标为(0,0,[*]),则 [*] 故[*],即所求质心坐标为(0,0,2/3). 设M(x,y,z)为S上任意一点,则点M处切平面的法向量为n=(2x,2y,-1),故点M处的切平面方程为Z=z+2x(X-x)+2y(Y-y),即 2x·X+2y·Y-Z-(x
2
+y
2
)=0, 故均匀立体V的质心到此切平面的距离为 [*] 下面求d的最小值.令x
2
+y
2
=u,则d转化为关于u的一元函数,且 [*] 求导得 [*] u=1/6为d(u)的唯一极小值点,也是最小值点.此时x
2
+y
2
=1/6,所求轨迹方程L为 [*]
解析
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考研数学一
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