2. 考研
  3. 设曲面S：z=x2+y2(z≤1)与平面z=1所围均匀立体为V，且在S上使其切平面与V的质心距离最近的点的轨迹方程为L． 求V的质心坐标及L的方程；

设曲面S：z=x2+y2(z≤1)与平面z=1所围均匀立体为V，且在S上使其切平面与V的质心距离最近的点的轨迹方程为L． 求V的质心坐标及L的方程；

admin2023-01-04  24
问题 设曲面S：z=x2+y2(z≤1)与平面z=1所围均匀立体为V，且在S上使其切平面与V的质心距离最近的点的轨迹方程为L．
求V的质心坐标及L的方程；
选项
答案[*] 由已知，均匀立体V如图4-2所示，设V的密度为常数ρ．由对称性，知V的质心坐标为(0，0，[*])，则 [*] 故[*]，即所求质心坐标为(0，0，2／3)． 设M(x，y，z)为S上任意一点，则点M处切平面的法向量为n=(2x，2y，-1)，故点M处的切平面方程为Z=z+2x(X-x)+2y(Y-y)，即 2x·X+2y·Y-Z-(x2+y2)=0， 故均匀立体V的质心到此切平面的距离为 [*] 下面求d的最小值．令x2+y2=u，则d转化为关于u的一元函数，且 [*] 求导得 [*] u=1／6为d(u)的唯一极小值点，也是最小值点．此时x2+y2=1／6，所求轨迹方程L为 [*]
解析
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考研数学一

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