已知函数f(x)=ln(1+x)－x。设a＞0，b＞0，若b≥a， ①求证：e(b－a)／2a≥，e为自然对数底数； ②若g(x)=xlnx，求证：g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)－g(b)。

admin2018-03-30 39

问题已知函数f(x)=ln(1+x)－x。
设a＞0，b＞0，若b≥a，
①求证：e^(b－a)／2a≥

，e为自然对数底数；
②若g(x)=xlnx，求证：g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)－g(b)。

选项

答案①由上问知函数f(x)在x=0处取得最大值，所以f(x)≤0，即ln(1+x)－x≤0， [*] ②g(x)=xlnx，g≤(x)=lnx+1，g"(x)=1／x，当x＞0时，g(x)在(0，+∞)上是上凹的，又b≥a＞0，于是有 [*] 整理得alna+blnb≥(a+b)ln[*] 也就是g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)－g(b)。

解析

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