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设F(x)=∫01(1—t)ln(1+xt)dt(x>—1),求F’(x)(x>—1,x≠0)并讨论F’(x)在(—1,+∞)上的连续性.
设F(x)=∫01(1—t)ln(1+xt)dt(x>—1),求F’(x)(x>—1,x≠0)并讨论F’(x)在(—1,+∞)上的连续性.
admin
2017-11-22
29
问题
设F(x)=∫
0
1
(1—t)ln(1+xt)dt(x>—1),求F’(x)(x>—1,x≠0)并讨论F’(x)在(—1,+∞)上的连续性.
选项
答案
先将F(x)转化为变限积分,令s=xt,则 [*] 下面讨论F’(x)的连续性.因ln(1+s),sln(1+s)当s>—1时连续,于是由②式及变限积分的连续性与连续性运算法则知当x>—1且x≠0时F’(x)连续,余下只需再求F’(0)并考察F’(x)在点x=0处的连续性. 注意F(0)=0,且 [*] 从而F(x)在点x=0处连续,又 [*] 于是F’(0)=[*]=F’(0),F’(x)在点x=0处连续. 这就证明了F’(x)在(—1,+∞)上连续.
解析
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考研数学三
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