2. 考研
  3. 设F（x）=∫01（1—t）ln（1+xt）dt（x＞—1），求F’（x）（x＞—1，x≠0）并讨论F’（x）在（—1，+∞）上的连续性．

设F（x）=∫01（1—t）ln（1+xt）dt（x＞—1），求F’（x）（x＞—1，x≠0）并讨论F’（x）在（—1，+∞）上的连续性．

admin2017-11-22  29
问题 设F（x）=∫01（1—t）ln（1+xt）dt（x＞—1），求F’（x）（x＞—1，x≠0）并讨论F’（x）在（—1，+∞）上的连续性．
选项
答案先将F(x)转化为变限积分，令s=xt，则 [*] 下面讨论F’（x）的连续性．因ln(1+s)，sln(1+s)当s＞—1时连续，于是由②式及变限积分的连续性与连续性运算法则知当x＞—1且x≠0时F’（x）连续，余下只需再求F’(0)并考察F’（x）在点x=0处的连续性． 注意F(0)=0，且 [*] 从而F(x)在点x=0处连续，又 [*] 于是F’(0)=[*]=F’(0)，F’（x）在点x=0处连续． 这就证明了F’（x）在（—1，+∞）上连续．
解析
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考研数学三

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