设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关的列向量，又 Aα1＝α1＋4α2，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝3α3， (Ⅰ)证明：矩阵A可相似对角化； (Ⅱ)设P＝(α1，α2，α3)＝，求A100．

admin2021-03-16 34

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂，α₃为三维线性无关的列向量，又
Aα₁＝α₁＋4α₂，Aα₂＝α₁＋α₂，Aα₃＝3α₃，
(Ⅰ)证明：矩阵A可相似对角化；
(Ⅱ)设P＝(α₁，α₂，α₃)＝

，求A¹⁰⁰．

选项

答案(Ⅰ)令P＝(α₁，α₂，α₃)，因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以P可逆，由Aα₁＝α₁＋4α₂，Aα₂＝α₁＋α₂，Aα₃＝3α₃得 (Aα₁，Aα₂，Aα₃)＝(α₁＋4α₂，α₁＋α₂，3α₃)，即 AP＝P[*]，或P^－1AP＝[*] 从而A～B，由｜λE－B｜＝[*]＝(λ＋1)(λ－3)²＝0得λ₁＝－1，λ₁＝－1，λ₂＝λ₃＝3，由3E－B＝[*]得 r(3E－B)＝1，从而B可相似对角化，再由A～B得A也可相似对角化． (Ⅱ)由P^－1AP＝[*]＝B得A¹⁰⁰＝PB¹⁰⁰P^－1，由－E－B→E＋B＝[*]得B的属于特征值λ₁＝－1的线性无关的特征向量为β₁＝[*]；由3E－B→[*]得B的属于特征值λ₂＝λ₃＝3的线性无关的特征向量为β₂＝[*]，令P₀＝[*]，则P₀^－1BP₀＝[*]，从而B¹⁰⁰＝[*]，故A¹⁰⁰＝(PP₀)[*](PP₀)^－1 而PP₀＝[*]，(PP₀)^－1＝[*] 故A¹⁰⁰＝[*]

解析

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考研数学二

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设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关的列向量，又 Aα1＝α1＋4α2，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝3α3， (Ⅰ)证明：矩阵A可相似对角化； (Ⅱ)设P＝(α1，α2，α3)＝，求A100．

考研数学二

设向量组α1=[1，1，1，3]T，α2=[一1，一3，5，1]T，α3=[3，2，一1，p+2]T，α4=[一2，一6，10，p]T．(1)p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量α=[4，1，6，10]T用α1，α2，α3，α4线性表出；(2)

设α1=[1，0，一1，2]T，α2=[2，一1，一2，6]T，α3=[3，1，t，4]T，β=[4，-1，一5，10]T，已知β不能由α1，α2，α3线性表出，则t=______．

设A＝，B＝P-1AP其中P为3阶可逆矩阵，则B2004－2A2＝_______．

设n阶矩阵则｜A｜=___________．

设矩阵A=，矩阵B满足ABA=2BA+E．其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=___________．

已知α1，α2为2维列向量，矩阵A=(2α1+α2，α1-α2)，B=(α1，α2)．若｜A｜=6，｜B｜=_______．

建设中国特色社会主义文化的根本任务是()

合同管理的主要内容有()。

水运工程项目实施，应当在()划分单位工程、分部和分项工程。

你对我国司法行政体制改革有什么想法?

对于结果加重犯，应当按照()。

这个国家在2007年控制非法药物进入的计划失败了。尽管对非法药物的需求呈下降趋势，但是，如果这个计划没有失败，多数非法药物在2007年的批发价格不会急剧下降。以下哪项是上述论证的一个假设?

Whohasn’twantedtomasternotjusttwolanguagesbut10?TakeGiuseppeMezzofanti,a19th-centurypriestwhowassaidtobe【C1

Theboyisintelligent.

Ithinkit’snouse(read)______withoutunderstanding.

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关的列向量，又 Aα1＝α1＋4α2，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝3α3， (Ⅰ)证明：矩阵A可相似对角化； (Ⅱ)设P＝(α1，α2，α3)＝，求A100．

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设α1=[1，0，一1，2]T，α2=[2，一1，一2，6]T，α3=[3，1，t，4]T，β=[4，-1，一5，10]T，已知β不能由α1，α2，α3线性表出，则t=______．

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