2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关的列向量，又 Aα1＝α1＋4α2，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝3α3， (Ⅰ)证明：矩阵A可相似对角化； (Ⅱ)设P＝(α1，α2，α3)＝，求A100．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关的列向量，又 Aα1＝α1＋4α2，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝3α3， (Ⅰ)证明：矩阵A可相似对角化； (Ⅱ)设P＝(α1，α2，α3)＝，求A100．

admin2021-03-16  49
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关的列向量，又
Aα1＝α1＋4α2，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝3α3，
(Ⅰ)证明：矩阵A可相似对角化；
(Ⅱ)设P＝(α1，α2，α3)＝，求A100．
选项
答案(Ⅰ)令P＝(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆， 由Aα1＝α1＋4α2，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝3α3得 (Aα1，Aα2，Aα3)＝(α1＋4α2，α1＋α2，3α3)，即 AP＝P[*]，或P－1AP＝[*] 从而A～B， 由｜λE－B｜＝[*]＝(λ＋1)(λ－3)2＝0得λ1＝－1，λ1＝－1，λ2＝λ3＝3， 由3E－B＝[*]得 r(3E－B)＝1，从而B可相似对角化， 再由A～B得A也可相似对角化． (Ⅱ)由P－1AP＝[*]＝B得A100＝PB100P－1， 由－E－B→E＋B＝[*]得B的属于特征值λ1＝－1的线性无关的特征向量为β1＝[*]； 由3E－B→[*]得B的属于特征值λ2＝λ3＝3的线性无关的特征向量为β2＝[*]， 令P0＝[*]，则P0－1BP0＝[*]， 从而B100＝[*]， 故A100＝(PP0)[*](PP0)－1 而PP0＝[*]，(PP0)－1＝[*] 故A100＝[*]
解析
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考研数学二

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