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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为三维线性无关的列向量,又 Aα1=α1+4α2,Aα2=α1+α2,Aα3=3α3, (Ⅰ)证明:矩阵A可相似对角化; (Ⅱ)设P=(α1,α2,α3)=,求A100.
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为三维线性无关的列向量,又 Aα1=α1+4α2,Aα2=α1+α2,Aα3=3α3, (Ⅰ)证明:矩阵A可相似对角化; (Ⅱ)设P=(α1,α2,α3)=,求A100.
admin
2021-03-16
52
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
为三维线性无关的列向量,又
Aα
1
=α
1
+4α
2
,Aα
2
=α
1
+α
2
,Aα
3
=3α
3
,
(Ⅰ)证明:矩阵A可相似对角化;
(Ⅱ)设P=(α
1
,α
2
,α
3
)=
,求A
100
.
选项
答案
(Ⅰ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
),因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以P可逆, 由Aα
1
=α
1
+4α
2
,Aα
2
=α
1
+α
2
,Aα
3
=3α
3
得 (Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
+4α
2
,α
1
+α
2
,3α
3
),即 AP=P[*],或P
-1
AP=[*] 从而A~B, 由|λE-B|=[*]=(λ+1)(λ-3)
2
=0得λ
1
=-1,λ
1
=-1,λ
2
=λ
3
=3, 由3E-B=[*]得 r(3E-B)=1,从而B可相似对角化, 再由A~B得A也可相似对角化. (Ⅱ)由P
-1
AP=[*]=B得A
100
=PB
100
P
-1
, 由-E-B→E+B=[*]得B的属于特征值λ
1
=-1的线性无关的特征向量为β
1
=[*]; 由3E-B→[*]得B的属于特征值λ
2
=λ
3
=3的线性无关的特征向量为β
2
=[*], 令P
0
=[*],则P
0
-1
BP
0
=[*], 从而B
100
=[*], 故A
100
=(PP
0
)[*](PP
0
)
-1
而PP
0
=[*],(PP
0
)
-1
=[*] 故A
100
=[*]
解析
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考研数学二
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