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(14)设A=,E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系; (Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B.
(14)设A=,E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系; (Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B.
admin
2019-08-01
60
问题
(14)设A=
,E为3阶单位矩阵.
(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系;
(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B.
选项
答案
(Ⅰ)对方程组的系数矩阵A施以初等行变换 [*] 设x=(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
T
,选取x
4
为自由未知量,则得方程组的一般解:x
1
=-x
4
,x
2
=2x
4
,x
3
=3xx
4
(x
4
任意). 令x
4
=1,则得方程组Ax=0的一个基础解系为 α=(-1,2,3,1)
T
(Ⅱ)对矩阵[A┆E]施以初等行变换 [*] 记E=[e
1
,e
2
,e
3
],则 方程组Ax=e
1
的同解方程组为[*],从而得Ax=e
1
的通解为x=k
1
α+[*],k
1
为任意常数,同理得方程组Ay=e
2
的通解为y=k
2
α+[*],k
2
为任意常数,方程组Ax=e
3
的通解为z=k
3
α+[*],k
3
为任意常数,于是得所求矩阵为 B=[x,y,z]=[*]+[k
1
α,k
2
α,k
3
α] 或 [*] k
1
,k
2
,k
3
为任意常数.
解析
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考研数学二
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