设f(x,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f’y(a,b)≠0,证明由方程f(x,y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是: f(a,b)=0,f’x(a,b)=0, 且当r(a,b)>0

admin2018-04-18  58

问题 设f(x,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f’y(a,b)≠0,证明由方程f(x,y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是:
f(a,b)=0,f’x(a,b)=0,
且当r(a,b)>0时,b=φ(a)是极大值;当r(a,b)<0时,b=φ(a)是极小值.其中

选项

答案y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φ’(a)=0.按隐函数求导法,φ’(x)满足 f’x(x,φ(x))+f’y(x,φ(x))φ’(x)=0. (*) 因b=φ(a),则有 f(a,b)=0, φ’(a)=[*]=0, 于是f’x(a,b)=0. 将(*)式两边对x求导得 f"xx(x,φ(x))+f"xy(x,φ(x))φ’(x)+[*][f’y(x,φ(x))]φ’(x)+f’y(x,φ(x))φ"(x)=0, 上式中令x=a,φ(a)=b,φ’(a)=0,得 [*] 因此当[*]>0时,φ"(a)<0,故b=φ(a)是极大值; 当[*]<0时,φ"(a)>0,故b=φ(a)是极小值.

解析
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